Analyse spectrale du problème de modes dans les fibres optiques 

Analyse spectrale du problème de modes dans les fibres optiques 

Milieu non-homogène:

La résolution précédente des équations de Maxwell reposait sur l’homogénéité de la permittivité relative. Nous allons dans ce qui suit généraliser cette situation de deux façons, que nous analyserons au prochain chapitre avec des outils d’analyse fonctionnelle. En premier lieu, on considérera les guides d’ondes planaires et en second lieu, les fibres optiques .

Guide d’ondes optiques planaire:

Complexifions légèrement la situation en ajoutant une perturbation selon y de l’indice de réfraction, ce qui donnera un guide d’ondes optiques planaire (dans R3 ). Il est nommé ainsi car il guide les ondes aux fréquences optiques et que les propriétés du matéria sont homogènes dans les plans parallèles à Oxz. La pertinence d’un tel modèle dans ce mémoire réside dans sa simplicité mathématique tout en permettant d’illustrer les concepts physiques importants comme la dispersion et l’atténuation.

Fibres optiques microstructurées
Terminons ce chapitre en introduisant le modèle de fibres optiques microstructurées, qui sera analysé et simulé dans les prochains chapitres. Considérons d’abord une fibre de longueur infinie selon l’axe des z. On suppose que les propriétés des matériaux varient seulement de façon transversale selon (x, y) ∈ Ω, où Ω est soit un domaine compact à frontière régulière (on parlera de guide d’ondes fermé) ou encore est égal à R2 (on parlera alors de guide d’ondes ouvert).

Analyse spectrale du problème de modes dans les fibres optiques:

En mathématiques appliquées, il est parfois utile de travailler dans un cadre abstrait afin de dégager les idées nous permettant de généraliser un concept ou démontrer un théorème. Dans ce chapitre, nous travaillerons dans le cadre de l’analyse fonctionnelle et de la théorie spectrale afin de dégager les caractéristiques des fibres à saut d’indices nous permettant de décrire de façon générale les propriétés des courbes de dispersion de toutes sortes de fibres optiques. Ceci aura des répercussions pratiques, comme par exemple lorsque nous justifierons plus loin la recherche des indices effectifs (bornes, valeurs de coupure, etc) en utilisant le principe du min-max. Mais pour l’instant, concentrons-nous sur la formulation mathématique du problème .

Formulation du problème:

Cette section a comme objectif de formuler le problème d’analyse modale dans le cadre mathématique des opérateurs non-bornés dans des espaces de Hilbert. Nous ferons une démonstration mathématique de l’équivalence entre la formulation du champ électrique et les deux formulations du champ magnétique. Mais pour ce faire, on doit introduire les espaces sur lequels seront définis les opérateurs et formulations variationnelles pour les guides d’ondes optiques, et plus particulièrement pour les fibres optiques.

Espaces fonctionnels et opérateurs de base pour fibres optiques:

Définissons les espaces fonctionnels et opérateurs diférentiels nécessaires pour formuler notre problème de modes dans les fibres optiques. Nous noterons le produit scalaire et la norme sur un espace de Hilbert H par h·, ·iH et k · kH. Nous supposerons que le produit scalaire sur L2(Ω)n est de la forme A.24. Enfin, nous utiliserons dans ce chapitre les variables (x1, x2, x3) pour désigner les coordonnées (x, y, z).

Simulation par éléments finis de fibres à coeur suspendu :

Si les prévisions données par les modèles numériques diffèrent des mesures faites en laboratoires, le coût associé à leur exécution sur un ordinateur reste néanmoins une fraction du coût associé à une fabrication en laboratoire. Le cas des fibres optiques ne fait pas exception à cet égard. Dans ce chapitre, nous étudierons le modèle linéaire de modes guidés avec indice de réfraction complexe ainsi que ses nombreuses variantes numériques. Nos principaux outils de travail seront le logiciel de simulations par éléments finis Comsol Multiphysics pour créer les modèles et le logiciel de calculs numériques Matlab pour l’analyse des résultats. D’abord, on comparera les différents modèles numériques construits et on discutera des différentes hypothèses qui les sous-tendent. Ensuite, on présentera les résultats sous forme de prédictions sur les valeurs de dispersion et de pertes.

Modélisation numérique de la dispersion:

Lorqu’on désire prédire la dispersion chromatique d’une fibre optique avec Comsol Multiphysics, plusieurs choix s’offrent au numéricien. Si certaines variantes peuvent simplifier les simulations, certaines hypothèses doivent cependant être vérifiées afin de garder une erreur d’approximation raisonnable sur la dispersion calculée. Avant de discuter des résultats numériques, introduisons chacune de ces variantes.

Utilisation d’une couche absorbante parfaitement adaptée (PML):

Au chapitre précédent, nous avons discuté d’un point de vue mathématique de la différence entre les guides d’ondes ouverts et fermés. D’un point de vue plus numérique, il est bien sûr impossible de représenter explicitement en mémoire un maillage recouvrant R2 . La solution à ce problème est alors d’utiliser une couche absorbante parfaitement adaptée (qu’on appelera plus concisément PML, de l’anglais « perfectly matched layer »). Physiquement, il s’agit ici de recouvrir la fibre d’un anneau (voir figure 3.1) qui ne réflète pas l’onde électromagnétique (i.e. qui l’absorbe sans réflexion). Mathématiquement, sans en donner explicitement la construction, cela se traduit par un changement de coordonnées vers le plan complexe (voir [3]). Ce changement de coordonnées vers C a comme conséquence qu’on obtient alors des indices effectifs à valeurs complexes, malgré le fait que l’indice de réfraction demeure à valeur réels. Comme nous le verrons numériquement en modifiant l’indice de réfraction à l’extérieur du coeur, il est possible d’utiliser une condition limite de conducteur parfait et d’obtenir malgré tout une excellente approximation des courbes de dispersion. Ceci s’explique selon nous par la décroissance exponentielle du champ électrique à l’extérieur du coeur. Les conditions limites auraient donc peu d’impact sur les valeurs des indices effectifs qui nous intéressent. On réfère vers [17] pour plus de détails à ce sujet.

D’une fibre à coeur suspendu vers une fibre à saut d’indices
L’étude des conditions d’existence des valeurs propres dans le spectre des opérateurs de fibres optiques nous a amené à reconsidérer la distribution de l’indice de réfraction pour les fibres à coeur suspendu. D’une part, nous avons déterminé numériquement que l’indice de réfraction à l’extérieur du coeur et des ponts n’avait que très peu d’impact sur les indices et la dispersion chromatique. D’autre part, les conditions d’existence mentionnent bien que l’indice de réfraction devrait être plus grand dans le coeur que dans la gaine d’une fibre (on rappelle la distribution réelle de l’indice à la figure 3.2). Rien ne nous empêche de simuler une fibre dont n=1 partout sauf dans les ponts et le coeur (bien qu’une telle fibre ne puisse bien sûr pas être reproduite en laboratoire). Comme nous verrons dans la prochaine soussection, cette modification accélère grandement les calculs tout en donnant une excellente approximation.

Modèles numériques des pertes
Le développement de modèles numériques pour une meilleure compréhension et prévision des pertes (en particulier celles causées par les impuretés OH−) était un des objectifs de ce mémoire. D’un point de vue pratique, le problème de l’attéunation des impulsions lumineuses dans les fibres optiques a longtemps frêné leur utilisation à large échelle dans les réseaux de télécommunications. Des techniques de purificastion ont donc été développés au fil des années afin de réduire l’atténuation aux valeurs qu’on connait aujourd’hui, soit d’environ 0.2 dB/km à 1.55 µm (voir [20]) dans les fibres de silice. Cette longueur d’ondes est d’ailleurs généralement choisie pour transmettre les signaux en raison des faibles pertes engendrées, qui varient fortement en fonction de la fréquence angulaire ω.

Modéliser chaque source de pertes séparément
Nous nous sommes intéressés à la modélisation des impuretés dans une perspective de prédiction et de compréhension des mécanismes de pertes. Nous nous sommes cependant limités à une modélisation au niveau macroscopique du phénomène d’atténuation, évitant ainsi toute considération quantique. Or, particulièrement à propos des pertes causées par les impuretés, la littérature est relativement faible au niveau macroscopique. Notons les travaux décrits dans [9], où on reprend le modèle de Lorentz afin d’étudier l’effet des impuretés OH sur les modes polarisés linéairement d’une fibre monomode à saut d’indice. Plus récemment, on note les travaux de [32], où on modélise dynamiquement l’intéraction entre les impuretés et les impulsions lumineuses en utilisant le modèle non-linéaire de Schrödinger .

Simulation bidimensionnelle versus tridimensionnelle
Bien que la simulation bidimensionnelle d’une fibre optique en régime harmonique nous donne des informations importantes sur l’évolution d’une impulsion en temps et en espace (i.e. selon l’axe longitudinal à la propagation) via une superposition de modes, il serait néanmoins intéressant de résoudre directement l’équation des ondes en considérant une dépendance quelconque en (x, y, z, t) du champ électrique. Cela permettrait entre autres la simulation de l’intéraction entre les impulsions lumineuses et les impuretés. Ces impuretés indésirables sont une cause importante de diffusion des impulsions lumineuses, particulièrement aux fréquences de résonnance de ces molécules.

Influence des impuretés sur le champ électrique
Une partie de nos travaux a consisté à explorer les possibilités de modéliser l’effet des impuretés en les incluant explicitement dans la géométrie de la fibre. Un des problèmes fut d’abord de déterminer l’indice de réfraction de telles impuretés. On voit l’importance de ce point en examinant le champ électrique du modèle bidimensionnel aux figures 3.10 et 3.11. Le problème ici est que le modèle ne voit que l’indice de réfraction, i.e. que les impuretés peuvent être vu comme un verre d’indice de réfraction plus ou moins élevé. Cela fait en sorte que le mode se concentre dans les impuretés, comme à la figure 3.11, ce qui ne nous apparaissait pas justifiable physiquement.

Influence des paramètres géométriques
Nous avons créé une géométrie paramétrisée nous permettant d’étudier l’influence des caractéristiques géométriques des fibres à coeur suspendu dans le but de prédire avec précision la dispersion chromatique. L’objectif était de découvrir une géométrie de fibre à coeur suspendue telle que le zéro de dispersion se situe autour de 1.55 µm. La figure 3.13 nous permet de visualiser les indices effectifs. Agrandir le coeur a l’effet que le mode se comporte de plus en plus comme une onde plane, car la courbe se rapproche de la courbe d’un milieu homogène (voir section 1.4). La figure 3.14 nous permet de visualiser les zéros de dispersion obtenus. On voit bien que le zéro de dispersion diminue lorsqu’on considère des coeurs de plus en plus petits. Malheureusement, un coeur de 1 µm n’est pas réalisable en pratique. Notons aussi que la même observation pour les indices effectifs s’applique à la figure 3.14 sur l’effet de l’agrandissement du coeur.

Conclusion:

Dans ce mémoire, nous avons modélisé, analysé puis simulé les modèles de dispersion et d’atténuation dans les fibres optiques à saut d’indice et les fibres microstructurées à coeur suspendu. Nous avons exposé les forces et les limites du paradigme linéaire dans la modélisation de la propagation des impulsions lumineuses. D’une part, la dispersion est prédite avec succès en considérant un modèle bidimensionnel avec invariance selon l’axe de propagation. D’autre part, l’atténuation est davantage un phénomène tridimensionnel et on doit tenir compte de l’invariance en z afin de par exemple tenir compte des impuretés, qui sont encore aujourd’hui une source importante de pertes dans les fibres optiques. Au niveau théorique, notons les limites de l’analyse mathématique à tenir compte de la nature complexe de l’indice de réfraction. Au niveau numérique, en nous limitant au niveau macroscopique, nous avons montré les limites des modèles de propagation. Il serait sans doute intéressant d’étudier comment intégrer les effets des impuretés en tenant compte d’une variance en z, que ce soit en régime linéaire ou non linéaire. Cependant, il faudra reconsidérer certaines hypothèses, telles que celle de travailler en régime harmonique.

Table des matières

1 Introduction 
1.1 Nature de la lumière 
1.2 Électromagnétisme et équations de Maxwell
1.2.1 Relations constitutives et polarisation électrique
1.3 Matériaux pour l’optique
1.3.1 Condition d’interface pour le champ électrique
1.3.2 Modèle de Lorentz et formule de Sellmeier
1.3.3 Relations de Kramers-Kronig
1.4 Milieu homogène
1.4.1 Superposition d’ondes planes monochromatiques
1.5 Milieu non-homogène
1.5.1 Guide d’ondes optiques planaire
1.5.2 Dispersion et vitesse de propagation
1.5.3 Fibres optiques microstructurées
2 Analyse spectrale du problème de modes dans les fibres optiques 
2.1 Formulation du problème
2.1.1 Espaces fonctionnels et opérateurs de base pour fibres optiques
2.1.2 Définition des modes guidés, de radiation et de fuite
2.1.3 Reformulation du problème de mode guidé
2.1.4 Formulation de β(ω) versus ω(β)
2.2 Analyse spectrale avec le champ magnétique
2.2.1 Bornes sur les valeurs propres
2.2.2 Spectre essentiel des fibres optiques
2.2.3 Application du principe du min-max
2.2.4 Théorème d’existence de valeurs propres
2.3 Généralisation au cas tensoriel
3 Simulation par éléments finis de fibres à coeur suspendu
3.1 Modélisation numérique de la dispersion
3.1.1 Simplification du cas vectoriel au cas scalaire
3.1.2 Utilisation d’une couche absorbante parfaitement adaptée (PML)
3.1.3 D’une fibre à coeur suspendu vers une fibre à saut d’indices
3.1.4 Discussion des résultats numériques sur la dispersion
3.2 Modèles numériques des pertes
3.2.1 Modéliser chaque source de pertes séparément
3.2.2 Simulation bidimensionnelle versus tridimensionnelle
3.3 Influence des impuretés sur le champ électrique
3.4 Influence des paramètres géométriques
3.5 Utilisation du logiciel Comsol Multiphysics 4.3b
3.5.1 Création du modèle
3.5.2 Configuration du modèle vectoriel dans le cas bidimensionnel
3.5.3 Résolution du modèle
3.5.4 Visualisation des résultats
Conclusion

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