Soutenance mémoire
Depuis les travaux de Black-scholes en 1973 voir [9], les marchés financiers ont connu une expansion considérable et les produits échangés sont de plus en plus nombreux et sophistiqués, les plus répandus de ces produits sont les options. Une option d’achat ou de vente, appelée respectivement (Call ou Put) est un instrument financier qui donne le droit, mais non l’obligation d’acheter ou de vendre une certaine quantité d’actifs financiers dit risqués à un prix prix d’exercice ou Strike et à une date (Maturité) convenus au préalable. Si l’option peut être exercée à tout moment jusqu’à la maturité, on parle d’option américaine, si l’option peut être exercée qu’à la maturité, on parle d’option européenne. Pour obtenir ce droit, l’acheteur de l’option paie au vendeur une prime ou valeur de l’option. Une question importante de la théorie des options est de détermine cette prime à chaque instant t précédant la maturité appelée problème de pricing.
Quelques notions élémentaires de mathématiques financières
Les marchés financiers
Le marché est le lieu où se rencontre l’offre et la demande d’un certain bien. Les marchés financiers (financial markets) sont les marchés où sont effectuées les transactions sur des actifs financiers, ainsi, que leurs produits dérivés. Les principales fonctions d’un marché sont :
– la transmission des ordres, c’est-à-dire les annonces d’une intention d’acheter ou de vendre.
– l’exécution des ordres, c’est-à-dire leur transformation en transactions.
– la diffusion de l’information : connaissance des quantités d’actifs disponibles à un prix donné, connaissance des prix, … On distingue deux types de marché, selon le comportement des participants :
Les marchés organisés d’actifs dérivés Ce sont des marchés sur lesquels sont échangés des contrats standardisés, élaborés par les autorités de marché, et qui font l’objet de contrôles publics. Au départ, l’objectif essentiel était de standardiser quantités et qualités de produits échangés. Quelques années plus tard, le premier contrat futures a été mis en place puis rapidement les spéculateurs ont trouvé plus attractif de spéculer sur le contrat que sur le produit lui-même. Alors que, traditionnellement, les membres de marché négociaient en un lieu unique, à la criée, à l’aide d’un jeu de signes complexes, l’évolution technologique a conduit à l’émergence de la négociation (trading) électronique qui est la norme aujourd’hui.
Les marchés de gré à gré
Ils sont généralement notés OTC pour Over The Counter. Ces marchés constituent une alternative importante en matière de volumes de transactions. Les échanges sont conclus par téléphone ou par l’intermédiaire des réseaux informatiques entre deux institutions financières ou entre une institution et l’un de ses clients. Les transactions sur le marché OTC sont en général d’un montant moyen plus important que sur le marché organisé et les conversations téléphoniques sont enregistrées pour régler les litiges éventuels. L’avantage essentiel du marché OTC réside dans la possibilité de traiter des produits sur mesure, la contrepartie étant qu’une des deux parties puisse faire défaut. Les marchés organisés ont, par contre, définit des règles de fonctionnement qui rendent ce risque pratiquement nul.
Les produits financiers
Ce sont des titres ou contrats dont certains sont négociables en bourse. Ils comptent deux catégories : les actifs financiers traditionnels et les produits dérivés.
Les actifs financiers traditionnels
Action : est un titre de propriété délivré par une société de capitaux. Elle confère à son détenteur la propriété d’une partie du capital, avec les droits qui y sont associés : intervenir dans la gestion de l’entreprise et en retirer un revenu appelé dividende. Le détenteur d’actions est qualifié d’actionnaire et l’ensemble des actionnaires constitue l’actionnariat.
Obligation : est une valeur mobilière constituant un titre de créance représentatif d’un emprunt. Donnant droit à des rendements obligataires, l’obligation est cessible et peut donc faire l’objet d’une cotation sur une bourse ou un marché secondaire. Dans la pratique, les volumes échangés se négocient principalement de gré à gré. La crise financière de 2007 à 2011 a vu les rendements des obligations atteindre des plus bas historiques.
Taux de change d’une devise (une monnaie) : est le cours (autrement dit le prix) de cette devise par rapport à une autre. Le taux de change est déterminé par l’offre et la demande de chacune des deux monnaies : si la demande dépasse l’offre, le cours augmente.
Matière première : est un produit à l’état brut (matière extraite de la nature : notion de ressources naturelles), ou ayant subi une première transformation sur le lieu de production pour la rendre propre à l’échange international, utilisé dans la production de produits finis ou comme source d’énergie. Par exemple : or, argent, diamant, pétrole, produits agricoles (blés, riz, maïs), gaz naturel, minerais et métaux, sable (pour le verre ou le silicium pour circuit intégré), potasse, caoutchouc, etc.
Les produits dérivés
En finance, un produit dérivé ou contrat dérivé ou encore derivative product, est un contrat entre deux parties, un acheteur et un vendeur, qui fixent des flux financiers futurs fondés sur ceux d’un actif sous-jacent, réel ou théorique, généralement financier. On distingue notamment les swaps, warrants, forwards, futures et options. Un actif sous-jacent est un actif sur lequel porte une option ou plus largement un produit dérivé. Il peut être financier (actions, obligations, bons du Trésor, contrats à terme, devises, indices boursiers…) ou physique (matières premières agricoles ou minérales…).
Options Les options sont échangées sur les deux types de marché. Il en existe de deux types. Une option d’achat (call), donne le droit à son détenteur d’acheter une certaine quantité d’un actif sous-jacent à une date future donnée et à un prix convenu. On précise qu’ait appelé actif sous-jacent, tout actif sur lequel porte une option ou plus largement un produit dérivé. Une option de vente put , donne le droit à son détenteur de vendre une certaine quantité d’un actif sous-jacent à une date future et à un prix convenu. Ce prix est appelé prix d’exercice ; la date maximale à laquelle le droit peut-être exercé est la date d’échéance. Si l’exercice peut être effectué à tout moment jusqu’à la date d’échéance, l’option est dite américaine. Par contre, si l’option ne peut être exercée qu’à la date d’échéance, elle est dite européenne. Une option d’achat (call) est dans la monnaie, en jeu, ou in the money en anglais, lorsque le prix d’exercice est inférieur au cours du sous-jacent (je peux acheter ce sous-jacent moins cher en exerçant mon Call que si je l’achetais sur le marché). Elle est à la monnaie, à parité, ou at the money en anglais, quand le prix d’exercice est égal au cours du sous-jacent (cela m’est égal d’exercer ou non mon Call). Elle est hors la monnaie, hors jeu, ou out of the money en anglais, si le prix d’exercice est supérieur au cours du sous-jacent (je n’ai pas intérêt à exercer mon droit d’achat). À l’inverse, une option de vente put est dans la monnaie lorsque le prix d’exercice est supérieur au cours du sous-jacent (je peux vendre ce sous-jacent plus cher en exerçant mon put que si je le vendais sur le marché).
Les composantes du prix d’une option La valeur de l’option est communément partagée en valeur intrinsèque et valeur temps.
La valeur intrinsèque : Elle représente le gain qui serait obtenu si l’option était exercée immédiatement. Elle est toujours positive ou nulle, car une option est un droit et non une obligation. Lorsque l’option est dans la monnaie, sa valeur intrinsèque est positive. Lorsque l’option est à la monnaie ou hors la monnaie, sa valeur intrinsèque est nulle.
La valeur temps : est en quelque sorte la valeur d’espoirs de l’option. Valeur temps = Valeur de l’option – Valeur intrinsèque. Cette valeur décroît avec le temps.
Les déterminants du prix d’une option L’évaluation d’une option (un droit d’acheter ou de vendre) est l’estimation de la prime à débourser pour l’acquérir qui représente la probabilité d’exercer celle-ci : plus l’exercice est probable, plus l’option sera chère. Cette valeur théorique dépend de divers facteurs, notamment :
– la différence entre le prix d’exercice et le prix courant (cours de bourse) de l’actif sousjacent ;
– la durée restant à courir avant l’échéance de l’option ( maturité ) ;
– le taux d’intérêt applicable à cette durée ;
– la volatilité de ce cours (et aussi du cours de l’option elle-même) ;
– le type d’options.
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Table des matières
Introduction Générale
1 Quelques définitions de base et résultats
1.1 Préliminaires
1.2 Quelques notions élémentaires de mathématiques financières
1.2.1 Les marchés financiers
1.2.2 Les produits financiers
1.2.3 Rappel de calcul stochastique
1.3 Le modèle de Black-Scholes
1.3.1 Présentation du Modèle
1.3.2 Stratégie de Portefeuille Auto-Finançant, et hypothèse d’A.O.A
1.3.3 Probabilité Risque Neutre et Marché Complet
1.3.4 L’Équation de Black-Scholes
1.4 Généralités sur les inéquations variationnelles elliptiques
1.4.1 Le problème continu
1.4.2 Caractérisation de la Solution Continue comme Enveloppe de SousSolutions Continues
1.4.3 Propriétés de Monotonie de la Solution Continue
1.4.4 Propriété de Dépendance Lipschitzienne de la Solution Continue
1.4.5 Régularité de la solution de l’I.V
2 Comportement asymptotique de l’inéquation variationnelle issue du problème de l’option américaine
2.1 Introduction
2.2 Formulation du problème de l’option américaine comme inéquation variationnelle
2.2.1 Le problème continu
2.3 Étude du problème discret
2.3.1 Discrétisation
2.3.2 Analyse de stabilité du θ−schéma pour l’I.V.P
2.4 Existence et unicité de la solution de l’I.V discrète
2.4.1 L’application point fixe associé au problème discret (2.22)
2.4.2 Algorithme itératif discret
2.5 Comportement asymptotique de l’I.V issue du problème de l’option américaine
3 L’approche sous-solution pour le comportement asymptotique de l’inéquation variationnelle issue du problème de l’option américaine
3.1 Introduction
3.2 Étude du problème continu
3.2.1 Discrétisation en temps
3.2.2 Existence et unicité de l’I.V continue
3.3 Étude du problème discret
3.3.1 Discrétisation
3.3.2 Existence et unicité de l’I.V discrète
3.4 Analyse d’erreur en norme L∞
3.4.1 Deux problèmes auxiliaires
3.5 Comportement asymptotique en norme L∞ du problème de l’option américaine
Conclusion Générale
Bibliographie
