Analyse multi-échelle de structures hétérogènes par décomposition de domaine

La construction et la conception d’un navire sont des activités industrielles très anciennes qui ont été beaucoup développées grâce à l’apparition des outils et méthodes modernes de calcul. Le déroulement de la conception de cette structure consiste en différentes étapes d’analyses (calculs hydrodynamiques, de stabilité, de structure, etc.) plus au moins liées. Parmi celles-ci, le calcul de structure est une étape importante dans le déroulement de la conception d’un navire, car sa qualité conditionne sa résistance, sa longévité, son confort et son acceptation par les sociétés de classification (autorisation pour la construction) ainsi que sa sécurité et son optimisation. Puisqu’il n’y a souvent qu’un seul prototype produit, qui est le produit final, et aussi parce que l’essai à échelle réelle de telles structures est très coûteux et difficile, les concepteurs navals comptent maintenant beaucoup sur la simulation numérique par éléments finis. Celle-ci joue un rôle croissant dans la conception des navires, en particulier vis à vis des approches réglementaires édictées par les sociétés de classification. Or, pour un navire à passagers, on a affaire à une structure de grande taille, à architecture complexe. Le navire comprend en effet de nombreux détails géométriques (hublots, portes, etc.), qui sont de plus, de taille très petite par rapport aux dimensions d’ensemble du navire (300 m de long pour le navire et quelques centimètres pour les détails, par exemple).

La simulation numérique de cette structure est donc difficile en raison de la complexité et de la taille des modèles. En effet, pour obtenir en une seule étape la réponse d’ensemble de la structure et la détermination de la solution locale au voisinage des détails, il faudrait adopter une description à l’échelle fine de discrétisation, qui conduirait à un modèle global très volumineux, et donc à un temps de calcul ainsi qu’un encombrement mémoire prohibitifs.

Décomposition de domaine et structures navales

Lors d’une analyse numérique par éléments finis, les ingénieurs ont besoin de modéliser des structures jusqu’à une échelle fine pour avoir des résultats numériques précis. La simulation d’une super structure à géométrie complexe (comme les navires à passagers) conduit alors à résoudre un système algébrique de grande taille. Sa résolution par un solveur direct se heurte alors à plusieurs problèmes : encombrement mémoire, temps de calcul, qui peuvent devenir prohibitifs et limiter l’utilisation d’un tel solveur. L’idée fondamentale de la méthode de décomposition de domaine est d’éviter la résolution d’un grand problème sur un seul domaine, en se ramenant à plusieurs problèmes couplés sur des sous domaines formant une partition du domaine original. Des solveurs itératifs sont alors mis en place afin de résoudre les couplages, un solveur direct étant généralement utilisé pour résoudre les problèmes de structure limités à chaque sous domaine. Cette idée a été proposée par Hermann Schwarz au XIXeme siècle. Deux grandes classes de méthode existent :
– les approches avec recouvrement des sous domaines (méthode de Schwarz),
– les approches sans recouvrement des sous domaines (méthode de Schur).

Ces dernières sont les plus utilisées en pratique et sont les seules considérées ici. Ce type de méthode s’est avéré un outil efficace pour le calcul de structures de grandes tailles à géométrie complexe [Toselli et Widlund, 2005]. Le but de ce chapitre est l’application, l’adaptation et le développement d’une méthode de décomposition de domaine pour le calcul de structure d’un navire à passagers. Dans la première section on présente le problème de référence du point de vue continu, ensuite les différentes méthodes de décomposition de domaine et le choix d’une méthode pour les structures navales sont détaillés.

Décomposition de domaine en calcul de structure

L’algorithme de résolution et le choix d’une méthode pertinente de décomposition de domaine sans recouvrement pour les structures des navires vont également être présentés. Les points forts et les limites de chacune des approches seront discutés dans le cadre de notre étude, pour le cas de l’élasticité linéaire. Il s’agit, après avoir réalisé une partition du domaine, de réécrire un problème mécanique sur l’interface entre les sous domaines. On présente d’abord le cas du problème continu dans la suite.

Description du problème de référence

On considère l’équilibre statique d’un domaine Ω de Rd (avec d = 2 ou 3), sous les hypothèses des petites perturbations. Cette structure est soumise à des efforts volumiques fb, des efforts surfaciques Fd sur une partie de sa frontière ∂NΩ et à des déplacements imposés ud sur sa partie complémentaire ∂DΩ . On suppose également que la structure a un comportement élastique et linéaire.

Dans le cas de la modélisation d’une grande structure à géométrie complexe, la recherche d’une solution avec prise en compte des détails, conduit à utiliser une discrétisation à l’échelle fine (maillage fin) et donc introduit un grand nombre de degrés de liberté. Les systèmes linéaires engendrés deviennent très rapidement gigantesques (plusieurs centaines de milliers d’équations). Les problèmes posés sont alors multiples. La mise en place du modèle géométrique fin et du modèle de calcul contenant autant d’inconnues amène à manipuler de très grosses quantités d’informations. De plus, la matrice de rigidité, une fois assemblée, occupe un espace mémoire très important, souvent plus grand que celui disponible en mémoire vive sur les calculateurs courants. Son stockage et sa factorisation deviennent délicats. Des écritures sur disques sont donc nécessaires ce qui ralentit fortement le processus du calcul. Il faut alors, pour de telles modélisations, générer des outils facilitant l’entrée et la manipulation des données et conduisant à des encombrements mémoire réduits. La conception de telles structures demande en général l’utilisation d’une technique d’optimisation qui demande à résoudre une succession de tels problèmes, augmentant grandement le coût de l’étude .

Une façon classique d’éviter ce problème est l’emploi d’un maillage grossier, avec des propriétés globales affectées à des éléments homogénéisés (méthode globale locale cf. chapitre 1). Une autre manière de résoudre ce problème est l’utilisation d’une méthode purement numérique comme la méthode de décomposition de domaine pour réduire la taille du problème global et en conséquence le temps de calcul. Après une présentation générale des méthodes de décomposition de domaine, nous discuterons de leur adéquation à l’étude d’un navire à passagers. Ceci nous conduira à un choix d’une certaine famille de méthode. Cette méthode sera ensuite adaptée compte tenu des spécificités des structures considérées (présence d’un grand nombre de raidisseurs, hétérogénéité structurale).

Une méthode duale – FETI

La méthode FETI (Finite Element Tearing and Interconnecting) est une méthode de décomposition de domaine sans recouvrement avec multiplicateurs de Lagrange [Farhat, 1991], [Farhat et Roux, 1991], [Farhat et Roux, 1994], [Farhat et al., 1998a] et [Farhat et Mandel, 1998]. Cette méthode utilise comme inconnues principales les inter efforts de l’interface entre des sous domaines, d’où son nom de méthode duale. Dans cette approche, la continuité en déplacement est imposée par l’intermédiaire de multiplicateurs de Lagrange.

Table des matières

1 Introduction
2 Décomposition de domaine et structures navales
2.1 Introduction
2.2 Décomposition de domaine en calcul de structure
2.2.1 Description du problème de référence
2.2.2 Principe de la méthode de décomposition de domaine
2.2.3 Aperçu bibliographique des méthodes de décomposition de domaine
2.2.3.1 Une méthode primale
2.2.3.2 Une méthode duale – FETI
2.2.3.3 Une méthode mixte
2.2.4 Remarques
2.2.5 Choix d’une méthode pour les structures navales
2.3 La méthode FETI-DP classique
2.4 Développement d’une méthode FETI-DP adaptée aux structures raidies
2.4.1 Hétérogénéité locale – redondance de multiplicateurs
2.4.2 Résolution du problème d’interface
2.4.2.1 Généralités
2.4.2.2 Préconditionneurs
2.5 Application de la méthode FETI-DP adaptée aux structures raidies
2.5.1 Exemple de validation en 2D – cas d’une interface homogène
2.5.2 Exemple en 2D – cas d’une interface hétérogène
2.5.2.1 Exemple en 2D – cas d’une hétérogénéité matérielle
2.5.2.2 Exemple en 2D – cas d’une hétérogénéité géométrique
2.5.3 Exemple de panneaux raidis en flexion
2.5.3.1 Problème de la raideur de drilling des plaques
2.5.3.2 Condition de raccord de plaques en 3D
2.5.4 Application à un exemple industriel
2.6 Bilan
3 Homogénéisation numérique et approche multi-échelle
3.1 Introduction
3.2 Description générale de la méthode
3.3 Raccord entre les sous domaines fin et grossier
3.3.1 Introduction
3.3.2 Collage des maillages incompatibles : aperçu bibliographique
3.3.3 Présentation de différentes méthodes
3.3.3.1 Raccord en déplacement
3.3.3.1.1 Méthode de collocation
3.3.3.1.2 Méthode des moindres carrés
3.3.3.2 La méthode mortar
3.3.4 Bilan – choix de deux méthodes
3.3.5 Application de deux méthodes de raccord
3.3.5.1 Préliminaire – interpolation sur l’interface côté grossier
3.3.5.2 Raccord en déplacement ou raccord cinématique
3.3.5.3 Raccord de type mortar
3.4 Homogénéisation des sous domaines grossiers (macro)
3.5 Méthode FETI-DP avec sous domaines fins et grossiers
3.5.1 Formulation matricielle
3.5.2 Résolution numérique
3.6 Validation de la méthode
3.6.1 Validation de la raideur macroscopique
3.6.1.1 Raideur homogénéisée en membrane
3.6.1.2 Raideur homogénéisée en flexion
3.6.2 Validation du raccord
3.7 Applications numériques
3.7.1 Introduction
3.7.2 Structures homogènes
3.7.2.1 Poutre en flexion : étude en contraintes planes
3.7.2.2 Poutre en flexion : étude avec des éléments plaque
3.7.3 Structures hétérogènes
3.7.3.1 Plaque infinie trouée : étude en contraintes planes
3.7.3.2 Plaque infini trouée : étude en flexion
3.7.3.3 Plaque raidie trouée : étude en flexion
3.7.3.4 Assemblage de plaques
3.8 Bilan
4 Conclusions et perspectives
4.1 Bilan des travaux
4.2 Perspectives
A Préconditionneur – matrice pondération superlumped
B Condition de raccord de la plaque en 3D
Références

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