Analyse et Simulation Numérique par Relaxation d’Ecoulements Diphasiques Compressibles

La modélisation des écoulements diphasiques est nécessaire à la représentation de nombreuses configurations d’écoulements fluides et, si l’on se restreint au cadre nucléaire civil, devient essentielle dans le contexte des écoulements dans les circuits primaire et secondaire des centrales s’appuyant sur des réacteurs à eau pressurisée (REP) . Ceci justifie l’intérêt constant porté par EDF, le CEA et l’IRSN depuis de nombreuses années à ce domaine. Les applications visées concernent non seulement le fonctionnement nominal, mais aussi et surtout les configurations incidentelles, parmi lesquelles on peut citer l’accident par perte de réfrigérant primaire (APRP), les phénomènes de crise d’ébullition, mais aussi le renoyage des cœurs. Le fonctionnement des générateurs de vapeur et des condenseurs constitue un autre champ d’application de cette classe de modèles fluides.

Dans cette optique, les acteurs mentionnés précédemment mais aussi AREVA développent conjointement, au sein du projet NEPTUNE, une plateforme de codes de simulation des écoulements diphasiques, ayant pour objectif de fournir des approximations discrètes des solutions de plusieurs modèles diphasiques, et autorisant le couplage de ces codes ([26]). En régime nominal dans le circuit primaire, le fonctionnement est très proche du fonctionnement monophasique pur, la vapeur étant a priori absente. En revanche, le taux de présence de vapeur peut devenir de faible à conséquent dans les situations incidentelles. Dans ce cas, les inhomogénéités spatiales et temporelles deviennent importantes, et il convient alors, si l’on souhaite associer un caractère prédictif aux simulations, disposer de modèles conduisant a minima à des problèmes de Cauchy bien posés.

Les modèles diphasiques de type Baer-Nunziato 

Les modèles que nous considérons dans ce mémoire s’inscrivent dans la classe des modèles bifluides à deux pressions qui permettent de prendre en compte le cas plus général de déséquilibre entre les pressions phasiques. Ce type de modèle fut par exemple étudié par Ransom et Hicks [36] ainsi que Stewart et Wendroff [41]. L’évolution de l’interface, identifiée à l’évolution des fractions statistiques est alors décrite par une équation aux dérivées partielles supplémentaire. Cette loi est généralement une équation de transport avec terme source où la vitesse de transport est appelée vitesse interfaciale. Intervient également dans ces modèles une pression interfaciale qui est possiblement différente des deux pressions phasiques. L’existence d’une équation de transport sur les taux de présence donne à ces modèles à deux pressions la propriété d’avoir une structure convective faiblement hyperbolique. Ils ne sont donc pas susceptibles a priori de développer de fortes instabilités non physiques liés à l’existence d’une zone elliptique.

étude de matériaux granulaires réactifs. Ce premier modèle visait à modéliser des mélanges de deux phases compressibles où l’une des deux phases est présente en petite quantité devant l’autre. On parle de phase diluée et de phase dominante. Dans ce contexte, la vitesse interfaciale est identifiée à la vitesse de la phase diluée et la pression interfaciale à la pression de la phase dominante. Ce modèle fut généralisé par Coquel et al. [16] puis Gallouët et al. [23] à d’autres fermetures pour le couple pression-vitesse interfaciales, tandis que d’autres fermetures sont proposées par Saurel et al. [39], Abgrall-Saurel [2] et Papin-Abgrall [35]. Dans ce cadre citons également les travaux de Gallouët et al. [22], Gavrilyuk-Saurel [24], Kapila et al. [30, 31].

Le modèle homogène de Baer-Nunziato fait l’objet d’un nombre croissant de contributions à la simulation numérique. Des solveurs basés sur le problème de Riemann exact ou approché ont été notamment proposés par Schwedeman et al. [40], Deledicque-Papalexandris [20], Saurel-Abgrall [38], Ambroso et al. [6], Kröner et al. [42], Karni–Hernàndez-Dueñas [32], Tokareva-Toro [43].

Produits non conservatifs, entropie et résonance

Les modèles de type Baer-Nunziato, présentent des produits non conservatifs. Pour le cas barotrope par exemple, les termes du premier ordre en espace ne peuvent pas être mis sous forme conservative à cause du terme PI∂xαk. En général, la définition de ce type de produits n’est pas immédiate dans le contexte des solutions faibles puisqu’ils peuvent impliquer le produit de fonctions discontinues avec des mesures.

Dans le cas du système barotrope sans termes sources, une éventuelle discontinuité du taux de présence αk est seulement portée par l’onde associée à la valeur propre VI . Or, ayant considéré les fermetures (0.2.20) pour VI , le champ associé est linéairement dégénéré. Ceci implique qu’il n’y a pas d’ambiguité dans la définition du produit non conservatif tant que le système est hyperbolique. En effet, pour définir le produit non conservatif à travers une discontinuité de αk, on décompte les relations de Rankine-Hugoniot issues des lois de conservation vérifiées par les solutions faibles du système. Afin d’illustrer ceci, plaçons nous dans le cadre barotrope, et supposons que la fermeture choisie est (VI , PI ) = (u2, p1). On obtient trois relations de saut correspondant à la conservation de la valeur propre VI = u2 à travers l’onde, à l’équation de conservation de la masse partielle de phase 1 α1ρ1, et à l’équation de conservation de la quantité de mouvement totale α1ρ1u1 + α2ρ2u2. La valeur propre VI = u2 étant simple, il manque alors une relation supplémentaire (à noter que la conservation de la masse partielle de la phase 2 ne donne pas d’information). Or, un résultat classique (voir [34, 9, 23]) sur les systèmes hyperboliques énonce que toute loi de conservation supplémentaire pour les solutions régulières est encore une loi de conservation au sens faible le long des champs linéairement dégénérés. Ainsi, la relation de Rankine-Hugoniot pour la loi de conservation de l’énergie totale (0.2.22) fournit la dernière relation permettant de définir le saut à travers la discontinuité de αk et donc le produit non conservatif PI∂xαk = p1∂xαk. Evidemment, tout ceci ne vaut que dans le cadre hyperbolique.

Lorsque la résonance apparaît, le système n’est plus que faiblement hyperbolique. Les valeurs propres sont toutes réelles mais il y a perte de la base de vecteurs propres. Pour (VI , PI ) = (u2, p1), les relations de saut sur u2, α1ρ1 et α1ρ1u1 + α2ρ2u2 dans le cas barotope (ainsi que sur l’énergie totale dans le cas avec énergie) restent vrai. On perd cependant un invariant de Riemann et c’est nécessairement celui exprimant la conservation de l’entropie mathématique. Autrement dit, la loi de conservation de l’entropie mathématique du système n’a donc plus aucune raison d’être vérifiée à travers l’onde VI . Dans ce cas résonnant, il apparaît nécessaire de garantir que si l’entropie ne peut pas être conservée, elle doit diminuer strictement, pour des raisons évidentes de stabilité. Il faut donc modéliser des mécanismes de régularisation le long du champ VI . A ces mécanismes, est associée a priori ou a posteriori une dissipation de l’entropie mathématique, conduisant à la définition d’une relation cinétique, qui est une relation de type Rankine-Hugoniot supplémentaire permettant en pratique de calculer les sauts à travers la discontinuité de taux de présence. Notons par exemple que ces relations cinétiques interviennent dans le contexte des transitions de phases afin de les caractériser (voir [1]). Si la solution est loin de la résonance, cette relation cinétique doit naturellement se réduire à la conservation de l’entropie mathématique à travers l’onde.

Evidemment, il n’y a pas unicité du choix des mécanismes de régularisation. Une modélisation usuelle qui concerne une classe de modèles incluant le modèle de Baer-Nunziato , revient à supposer une évolution monotone de αk à travers la discontinuité. Ceci conduit en particulier à l’existence de plusieurs solutions auto semblables du problème de Riemann en présence de résonance. D’autres mécanismes de régularisation ont été introduits dans le contexte du couplage non conservatif de systèmes hyperboliques conduisant à des situations résonnantes . De nouveau, il n’y a génériquement pas unicité de la solution, chaque solution étant associée à un taux de dissipation particulier. Notons que toutes les situations de résonance évoquées dans ces travaux correspondent à un type de résonance lié à l’interaction entre un champ linéairement dégénéré et un champ vraiment non linéaire.

Table des matières

Introduction générale
0.1 Contexte général
0.2 Les modèles diphasiques de type Baer-Nunziato
0.2.1 Le modèle avec énergie en plusieurs variables d’espace
0.2.2 Le modèle avec énergie en une dimension d’espace
0.2.3 Le modèle barotrope en une dimension d’espace
0.3 Produits non conservatifs, entropie et résonance
0.4 Approximation par relaxation et passage du barotrope à l’énergie
0.5 Chapitre 1: Approximation par relaxation pour les équations d’Euler en tuyère
0.6 Chapitre 2: Approximation par relaxation pour le modèle de Baer-Nunziato
0.7 Chapitre 3: Un schéma numérique de relaxation pour le modèle de Baer-Nunziato
0.8 Chapitre 4: Une méthode à pas fractionnaires pour le modèle de Baer-Nunziato
0.9 Publications
Bibliographie
1 Approximation par relaxation pour les équations d’Euler en tuyère
1.1 Introduction
1.2 The Euler equations in a nozzle with variable cross-section
1.2.1 Presentation and main properties
1.2.2 Standing wave and resonance
1.2.3 Numerical approximation and Riemann solvers
1.3 Relaxation approximation
1.3.1 The relaxation system and its main properties
1.3.2 Jump relations across the stationary contact discontinuity
1.3.3 Solving the Riemann problem for the relaxation system
1.4 Numerical approximation
1.4.1 The relaxation method
1.4.2 Finite volume formulation
1.4.3 Basic properties of the scheme
1.4.4 Non linear stability
1.4.5 Practical choice of the parameter a
1.4.6 Numerical results
Appendices
References
2 Approximation par relaxation pour le modèle de Baer-Nunziato
2.1 Introduction
2.1.1 The isentropic model of Baer-Nunziato
2.1.2 A relaxation approximation
2.2 The Riemann problem for the relaxation system
2.2.1 Definition of the solutions to the Riemann problem
2.2.2 The resolution strategy: an iterative procedure
2.2.3 An existence theorem for solutions with subsonic wave ordering
2.2.4 The Riemann problem for phase 2 with a predicted value of π∗1
2.2.5 The Riemann problem for phase 1 with a predicted value of u∗2
2.2.6 Solution of the fixed point problem and proof of Theorem 2.2.3
2.2.7 Expression of the Riemann solution
References
3 Un schéma numérique de relaxation pour le modèle de Baer-Nunziato
3.1 Introduction
3.2 The model and its relaxation approximation
3.3 The relaxation Riemann solver
3.3.1 An existence theorem for subsonic solutions
3.3.2 Construction of the solution
3.4 The relaxation scheme
3.4.1 Description of the relaxation algorithm
3.4.2 Finite volume formulation
3.4.3 Basic properties of the scheme
3.4.4 Non-linear stability
3.4.5 Practical choice of the pair (a1, a2)
3.5 Numerical tests for the barotropic 1D model
3.5.1 Test-case 1: a complete Riemann problem
3.5.2 Test-case 2: a vanishing phase case
3.5.3 Test-case 3: Coupling between two pure phases
3.6 The multidimensional case
3.6.1 The two-dimensionnal finite volume scheme
3.6.2 Numerical approximation of the source terms
3.6.3 Numerical illustration
3.7 Extension to the full Baer-Nunziato model in 1D
3.7.1 Entropy-Energy duality for the Euler equations
3.7.2 Extension to the Baer-Nunziato equations
3.7.3 The fixed point procedure
3.7.4 Numerical illustration
Conclusion générale

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