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Sources de non linéarité
La non linéarité peut être causée par plusieurs facteurs, ces facteurs peuvent être classés en deux groupes principaux. Non linéarité matérielle (ou constitutive, rhéologique) ;Non linéarité géométrique (ou cinématique).
Non linéarité matérielle :Cette non linéarité est propre au matériau (caractéristiques, constitution, rhéologie). Elle peut être instantanée, quand elle existe avec un matériau indépendamment des effets extérieurs. On peut citer comme exemple un matériau élastique non linéaire par sa rhéologie, plasticité ou sa fissuration.
Comme elle peut être aussi différée, et elle n’apparaît qu’après un certain temps, comme par exemple le fluage, le retrait et la viscosité.
Non linéarité géométrique : Quand les déplacements sont grands, les équations d’équilibre basées sur la géométrie initiale ne sont plus. Ceci affecte les relations forces-déplacements car des forces internes supplémentaires sont générées par les variations géométriques.
En plus, les grands déplacements causent de grandes déformations, ce qui engendre des relations non linéaires entre déplacements et déformations. On peut citer comme exemples : Interaction entre flexion et effort normal ;Variation des conditions d’appuis.
Comportement de l’acier
Toute structure subit des sollicitations ou actions extérieures qui provoquent des déformations, mais aussi des efforts internes, à savoir les contraintes.
Essai de traction
L’essai de traction permet de connaitre les propriétés mécaniques de l’acier, les plus importantes étant la résistance et la ductilité. Cet essai est normalisé et consiste à tirer sur une éprouvette cylindrique de dimensions normalisées. Nous mesurons la force appliquée progressivement et l’allongement de l’éprouvette. Nous obtenons un diagramme contrainte- déformation.
Phase OA : Cette première zone est la phase élastique. Cette phase est réversible, cela signifie que si nous supprimons l’effort de traction, l’éprouvette revient à sa longueur initiale.
Phase AB : Nous entrons dans le plateau plastique. Contrairement à la zone élastique, les déformations de cette phase ne sont plus réversibles. Cela signifie que si nous supprimons l’effort de traction, l’éprouvette conserve une déformation permanente appelée aussi déformation plastique.
La zone AA’ : zone nommée plateau plastique ou palier de ductilité, l’allongement augmentant sans augmentation de la contrainte.
La zone A’B : appelée zone d’écrouissage, la contrainte doit augmenter pour continuer l’allongement.
Phase BC :Dans cette dernière phase, nous dépassons la contrainte maximale (fu): c’est le début de la phase de rupture. Dans cette phase, la section de l’éprouvette diminue de manière visible et localisée à l’endroit de la rupture : il y a striction de la section.
On y constate clairement deux comportements :
Tant qu’on reste en dessous du point de limite élastique, le comportement reste élastique, cela veut dire que la courbe de décharge est confondue avec la courbe de charge.
Par contre, si le chargement dépasse la limite élastique, et si on décharge ensuite l’éprouvette, on constate qu’on revient à un autre état et le materiau subit une déformation.
La flexion
Considérons une poutre horizontale appuyée à ses deux extrémités et supportant un poids placé au milieu de sa portée. Elle génère ce qu’on appelle une flexion ou un moment fléchissant.
La flexion exerce de part et d’autre de la fibre neutre des contraintes variables et de signes opposés. La face supérieure de la poutre se raccourcit sous une compression et la face inférieure s’allonge sous une traction.
En revanche, la matière au voisinage des faces extérieures de la section est la plus sollicitée. La géométrie de la section des poutres et des poteaux est directement issue de ces constatations. Elle conduit à concentrer la matière dans les parties les plus éloignées de l’axe neutre.
La résistance de la poutre dépendra donc de la caractéristique géométrique suivante de la section : le module de flexion. Plus le module de flexion est grand, meilleure est la résistance à la flexion.
L’effet de second ordre dans la plasticité des poutres
Précédemment la procédure d’analyse plastique a été réalisée manuellement, dans des cas de portiques plus complexe, la procédure sera informatisée pour qu’elle puisse être appliquée de manière pratique à des structures plus élancées et en concentrant l’attention sur l’analyse de premier ordre et de seconde ordre ci il est nécessaire, L’effet de second ordre (P-Delta) est un effet non linéaire qui se produit dans chaque structure ou les éléments sont soumis à des charges axiales. Cet effet est étroitement lié à valeur de la force axiale appliquée (P) et le déplacement (Delta). La valeur de l’effet P-delta dépend de :
La valeur de la force axiale appliquée ;La rigidité ou la souplesse de la structure globale ;La souplesse des éléments de la structure.
En contrôlant la souplesse, la valeur de l’effet P-delta est souvent gérée de telle façon à être considérée négligeable et donc ignoré dans le calcul.
Il existe deux types d’effet P-Delta :
Les effets des déplacements suivant la longueur des barres (flèches locales) ;Les effets des déplacements aux intersections des barres.
Plasticité et MEF
Les méthodes d’analyse et de conception plastiques simples reposent sur deux hypothèses de base. La première suppose que la structure est constituée d’un matériau ductile tel que l’acier, capable d’absorber de grandes déformations au-delà de la limite élastique sans risque de rupture. La seconde est que les déformations d’un système structural sous chargement sont faibles, de sorte que l’effet de cela sur la géométrie générale peut être ignoré.
La solution exacte dans une analyse plastique doit satisfaire aux trois conditions de base : équilibre, mécanisme (cinématique) et conditions du moment plastique (rendement).
Pour des structures complexes, il est difficile de satisfaire ces trois conditions afin d’obtenir la solution exacte immédiatement. Dans cette situation, il est naturel de rechercher des méthodes d’analyse approchées simples pour ces structures, ainsi que des principes généraux et des théorèmes permettant d’évaluer la précision de ces solutions approchées.
Donc nous utiliserons abondamment la méthode de travail virtuel pour établir ces théorèmes fondamentaux.
Théorèmes fondamentaux de l’analyse plastique des structures
L’analyse plastique des structures a pour objet de calculer la charge réelle de ruine d’une partie de structures ou de structures et les mécanismes de ruine correspondants. La détermination du facteur de charge de ruine, λ c , ainsi que les mécanismes de ruine des structures dépend essentiellement de la satisfaction des trois conditions du vrai mécanisme de ruine à savoir la condition d’équilibre, la condition d’écoulement et la condition de mécanisme.
Théorème de la limite inférieure : Si, dans une structure sujette à un chargement défini par un facteur de charge positif, λ, une distribution des moments fléchissants satisfaisant les conditions d’équilibre et d’écoulement peut être trouvée, ensuite λ inférieur, ou égal au facteur de charge de ruine λc . Dans ce cas la valeur de λ est une limite inférieure pour λc .
Théorème de la limite supérieure : Dans ce cas la distribution des moments fléchissants dans les structures ne vérifie que les conditions d’équilibre et de mécanisme, le facteur de charge correspondant, λ est supérieur ou égal au facteur de charge de ruine, λc , la valeur de ce facteur est une limite supérieure pour λ .
Méthode itérative « pas à pas »
Elle consiste à analyser et ré analyser la structure statiquement étape par étape jusqu’à l’obtention de la (r+1) nième rotule plastique. La dernière étape donne forcement le mécanisme de ruine de cette structure.
Ce mécanisme doit satisfaire théoriquement les trois conditions fondamentales de l’analyse plastique des structures, à savoir la condition d’écoulement, de mécanisme, et d’équilibre simultanément.
Le programme ProCal-Plast
Le programme «ProCast» est destiné à l’analyse élasto-plastique des structures barres en charpente métallique, en plus de la possibilité de calculer ces dernières dans le domaine élastique on les traiterait dans le domaine élasto-plastique, et déterminer leur résistance ultime et afficher les mécanismes de ruine causé par des contraintes qui dépassent la limite plastique de certaines sections de la structure.
ProCast nous fournit des diagrammes et des détails sur la structure en output. Pour le faire, il suffit d’injecter les données géométriques et mécanique de la structure étudiée comme input dans un fichier source. Dans ce fichier de données se trouve les informations relatives à la position des nœuds (coordonnées de nœud, condition aux limites) et des information sur les éléments barres (nœud d’origine, nœud d’extrémité, les propriétés physique (E, fy, Av, Iy, A,Wpl..)).
Notre programme est basé sur la méthode des éléments finis, sous forme d’un code de calcul numérique, développé sous le logiciel MATLAB, pour sa puissance et sa simplicité de fonctionnement.
ProCast utilise une méthode incrémentale dans le calcule non-linéaire qui permettre de suivre la formation des rotules plastiques sur la structure étape par étape.
Les éléments barres seront discrétisé sous forme d’une poutre avec localisation des ressorts sur leurs deux extrémités.
Le programme de calcul est composé de deux parties :
Un sous-programme de données nommé ‘’Données’’, c’est un fichier script qui définit les données de la structure. Il est conçu indépendamment du programme principal afin de faciliter l’intervention sur les paramètres de la structure à étudier. Ceci évite que l’utilisateur intervienne sur les instructions du programme principal. Pour chaque élément de la structure, la discrétisation du système (coordonnées des nœuds, détermination des éléments, modélisation des ressorts, les propriétés géométriques des barres, les conditions d’appuis, le nombre d’itération, les degrés de liberté suivi pendant l’analyse…) ainsi que les chargements appliqués (charges du bâtiment ou charges extérieures) sont introduites dans ‘’Données’’ sous forme d’un tableau. Il est possible aussi choisir d’introduire (ou pas) les effets de second ordre à partir du sous-programme Données.
Un algorithme principal qui traite toutes les opérations de l’analyse elasto-plastique de la structure nommé «ProCast». Cette partie du programme n’est destinée qu’à l’analyse de la structure car les données géométriques sont déjà introduites dans la première partie. Ces dernières seront importées dans cette deuxième partie lors de l’exclusion. En premier lieu, la lecture des informations sur nœuds et barres s’effectue à partir du fichier de données, ensuite le programme définira le nombre des nœuds, barres et ressorts existants dans la structure et assemble les éléments (nœud d’origine, nœuds d’extrémité et les ressorts de chaque nœud d’élément). Par la suite, la structure étudiée sera dessinée, directement après l’exécution du programme.
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Table des matières
Introduction générale
Chapitre 1 : Plasticité
1.1Introduction
1.2 Le calcul Plastique
1.2.1 Source de non linéarité
1.3 Comportement de l’acier
1.3.1 Essai de traction
1.3.2 La flexion
1.4. Flexion plastique
1.4.1 Moment plastique
1.4.2 Rotule plastique
1.5. La flexion composé plastique
1.6. Analyse limite
1.6.1. Méthodes utilisées pour le calcul des charges de ruine
1.6.2. Mécanisme de ruine
1.7. L’effet de second ordre dans la plasticité des poutres
1.8. Plasticité et MEF
1.8.1. Théorèmes fondamentaux de l’analyse plastique des structures
1.8.2. Méthode itérative « pas à pas »
1.8.3 Principe de l’introduction des conditions aux limites internes
Conclusion
Chapitre 2 : Développement du programme de calcul « ProCast »
2.1. Introduction
2.2. Le programme ProCal-Plast
2.3 Calcul statique
2.3.1 Assemblage de vecteur force statique
2.3.2 La matrice de rigidité de la barre [Kg]
2.3.3 La Matrice de rigidité du ressort non-linéaire
2.3.4 Conditions aux appuis
2.3.5 Calculer le déplacement statique
2.4 Le calcul non-linéaire
2.4.1 Charge appliqué
2.4.2 Calcul du déplacement
2.4.3 Calcul des sollicitations
2.4.4 Actualisation de la matrice de rigidité élémentaire locale
2.4.5 Vérification de la plasticité
2.4.6 Actualisation de la matrice de rigidité globale
2.5 Dessin de la structure étudié
2.6 Organigramme général du programme de calcul « ProCast »
Conclusion
Chapitre 3 : Validation du programme de calcul « ProCast »
3.1 Introduction
3.2 Validation de calcul élastique
3.3 Validation de calcul élasto-plastique
3.3.1 Exemple 1
3.3.2 Exemple 2
3.3.3 Exemple 3
3.3.4 Exemple 4
3.3.5 Exemple 5
3.4 Comparaison entre l’exemple 4 et 5 en point de vu influence de second ordre
Conclusion
Conclusion générale
Références bibliographiques
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