Analyse des tolérances de localisation au maximum de matière

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Analyse des tolérances

Une des fonctions que l’on doit vérifier est la faisabilité géométrique de l’assemblage. Cette vérification peut être faite dans la classe non-variationnelle d’assemblage, ou, d’une façon plus globale, mais souvent complexe, dans la classe variationnelle [Robinson 98, Schultheiss 99].
Le concepteur peut aussi vérifier un comportement moins global de l’assemblage comme par exemple, le jeu minimum entre deux pièces. Pour cela, il doit paramétrer les besoins fonctionnels et les spécifications à l’aide d’une modélisation.
Le paramétrage consiste à choisir un modèle et des paramètres qui couvrent au mieux les zones de tolérance à étudier.
L’analyse des tolérances calcule les effets d’un choix des valeurs et des types de tolérances sur le besoin fonctionnel que doit satisfaire le produit.
Le paramétrage aboutit souvent à une ou des équations de la forme suivante : y=f (x1,x2,…, xn) (3)
avec :
– y la valeur de la fonction de conception f représentant le besoin fonctionnel ;
– xi la valeur du paramètre i.
Cette fonction est simple à modéliser dans le cas unidirectionnel [Bourdet 73] mais elle devient complexe à calculer dans le cas de tolérancement tridimensionnel [Roy 91], suivant le modèle utilisé. Le modèle de Bourdet et Ballot qui utilise les torseurs des petits déplacements permet d’obtenir des équations comme l’équation 3, [Ballot 95b, Ballot 97]
Selon cette définition, l’analyse permet de calculer y connaissant f et les valeurs des xi.
Cette manière de présenter le problème de l’analyse des tolérances a conduit à un ensemble de modèles permettant de décrire les équations fonctionnelles. Nous détaillerons ces modèles dans les paragraphes suivants.
Deux outils sont généralement utilisés pour calculer l’analyse de la fonction f :
· l’analyse au pire des cas ;
· l’analyse statistique.

Analyse au « pire des cas »

Il n’y a pas de définition rigoureuse de la notion de pire des cas. Généralement, elle découle des notions développées dans le cas du tolérancement unidirectionnel.
Par exemple, si nous prennons les deux pièces définies à la figure 6, et que nous supposons qu’elles seront fabriquées sans aucun défaut géométrique. Nous pouvons nous demander quel sera le jeu maximum entre les deux pièces dans le pire des cas ? Nous pouvons modéliser les deux diamètres dans un espace à une dimension. L’alésage aura deux pires cas limites. Le premier, quand il sera à sa dimension minimum de 10 mm, le second quand il sera à sa dimension maximum de 10.05 mm. Pour le cylindre, de la même manière que pour le premier pire cas sera obtenu quand l’arbre atteindra sa dimension minimum de 9.7 mm et le second quand il atteindra sa dimension maximum de 9.75 mm. Nous voyons facilement qu’avec ces hypothèses, au pire des cas, le jeu maximum entre les deux pièces sera de 10.05-9.7=0.35 mm.

Hypothèse du défaut de forme nul en analyse des tolérances

La plupart des modèles d’analyse des tolérances font l’hypothèse que le défaut de forme des surfaces est nul. Ainsi, une surface cylindrique sera modélisée par un cylindre parfait. Cette hypothèse simplifie l’étude en ignorant les défauts de forme des différentes entités d’une pièce, mais son utilisation implique un ensemble de conséquences qui ne sont pas toujours bien perçues. En faisant cette hypothèse, un ensemble de spécifications définies par des tolérances géométriques se confondent au cours de l’analyse.
Ainsi une tolérance de coaxialité et une tolérance de localisation sur un axe peuvent être modélisées et analysées de la même manière, les entités peuvent alors être modélisées uniquement par leur position et leur orientation.
Malgré ce défaut, cette hypothèse est souvent incontournable, car la prise en compte de l’ensemble des défauts de forme dans les modèles de tolérancement géométrique rend ces derniers trop complexes et trop difficiles à étudier. Cependant elle permet, en simplifiant le problème, d’avoir déjà une première approche assez voisine de la réalité, et suffisante dans la plupart des problèmes.

Accumulations des dispersions de fabrication

Au cours de la réalisation d’une pièce, il est nécessaire de mettre en œuvre plusieurs procédés et processus de fabrication. Les dispersions de fabrication sont dues à la fois au procédé et au processus de fabrication, c’est-à-dire au choix du type d’usinage, de la machine, des outils et des porte-pièces qui vont permettre de réaliser la pièce. D’autre part, la qualification des opérateurs est certainement à prendre en compte. Dans la suite, nous désignerons par moyens de production, le procédé et le processus de fabrication. Pour que la pièce fabriquée respecte les tolérances définies en cours de conception, il faut vérifier que les moyens de production sont capables de produire de telles pièces de manière répétitive. Il est très difficile de connaître et d’utiliser la capabilité des moyens de production [Farmer 99].
Avec l’apparition des machines outils à commande numérique, on peut, aujourd’hui, réaliser un ensemble d’entités dans une même phase d’usinage sans démonter la pièce. Ceci permet, d’une part, de réduire les erreurs dues à la remise en position de la pièce et d’autre part, de réduire les temps de production en évitant les démontages de la pièce. Les entités n’étant pas forcément  définies par le concepteur dans le même système de référence, il faudra :
· Effectuer un transfert des différentes tolérances contrôlant les entités dans le référentiel de la machine.
· Comparer ces tolérances ainsi exprimées avec les dispersions de fabrication du procédé de fabrication pour vérifier que la machine est capable de réaliser la tolérance.
On parle aussi de simulation d’usinage ou d’analyse descendante [Gaunet 94, Bennis 97, Le Pivert 99, Desrochers 99].
Le procédé inverse de l’analyse descendante est l’analyse ascendante. Dans ce cas, on cherche à vérifier que l’accumulation des dispersions des moyens de production, pour réaliser une entité, est inférieure aux tolérances définissant cette entité [Dupinet 95, Gaudet 99].

Synthèse des tolérances

La synthèse des tolérances est un problème plus complexe que l’analyse des tolérances. Il vise à trouver les valeurs des différentes tolérances participant à l’accomplissement d’un besoin fonctionnel, en optimisant le coût global de la production. La plupart des auteurs présentent la synthèse comme étant le problème opposé de l’analyse, qui consiste à résoudre le problème suivant : trouver les xi connaissant l’expression de f et les valeurs de y.
Nous pensons plutôt qu’il existe plusieurs niveaux de synthèses de tolérances. Le plus couramment présenté dans les publications est celui où l’on cherche à trouver les valeurs des tolérances qui minimisent le coût de production de la pièce. Le respect du besoin fonctionnel est pris comme une contrainte du problème d’optimisation. Ceci nécessite donc de choisir un modèle de coût de production en fonction de la tolérance à réaliser. Les modèles utilisés sont des modèles empiriques qui donnent seulement une idée du coût de réalisation des entités [Zhang 92a, Zhang 92b, Zhang 96]. Ce niveau de synthèse suppose donc que l’on connaisse déjà les types de tolérances que l’on va appliquer aux différentes entités pour répondre au besoin fonctionnel et que l’on a déjà effectué une paramétrisation à l’aide d’un modèle. En particulier, le choix des références est déjà effectué.
Les autres niveaux de synthèse des tolérances correspondent à des niveaux où ces choix sont à faire. C’est-à-dire où ni les types des tolérances, ni le choix des références sont déjà effectués par l’utilisateur. On se rend compte que cela entraîne une augmentation de la complexité des problèmes. Nassef et ElMaraghy, proposent d’une part, de choisir les procédés de fabrication qui permettent d’avoir un coût optimal, puis de définir le type et les valeurs de tolérances de fabrication pour rejeter le moins d’assemblages possible [Nassef 97].
Gao et Chase proposent des outils pour calculer les dimensions des mécanismes et les variations possibles des dimensions pour garantir une robustesse de ce dernier [Gao 95, Ravaut 99].

Modèle des exigences fonctionnelles sur les frontières virtuelles

L’approche proposée par Srinivasan et Jayaraman est une continuation des travaux de Requicha. Elle traduit les besoins fonctionnels de l’assemblage en introduisant la notion d’exigences fonctionnelles sur les frontières virtuelles (Virtual Boundary Requirements, VBR). [Srinivasan 85, Jayaraman 89]
Ils associent à chaque surface définissant la frontière d’un solide un demi-espace ainsi que des opérateurs de décalage. Cette association permet de généraliser les exigences de cotation au maximum et au minimum de matière. Ceci permet de créer des demi-espaces où la matière de la pièce doit se trouver, et trouve un application directe en assemblage. A l’aide de cette notion d’exigence sur les frontières virtuelles, l’analyse de l’assemblage du mécanisme se fait en étudiant la non-interférence des demi-espaces générés. Nous reviendrons par la suite sur ces travaux.
Pour Jayaraman et Srinivasan, les tolérances normalisées sont de deux types : les tolérances inconditionnelles (Unconditional tolerance) et les tolérances conditionnelles (Conditional tolerance).
Les tolérances inconditionnelles spécifient que les variations permises à la géométrie d’une entité ne dépendent pas de l’état de l’entité réelle. En général, toutes les spécifications sans égard aux dimensions (RFS) sont des tolérances inconditionnelles.
Au contraire, les tolérances conditionnelles spécifient que les variations permises de la géométrie dépendent de l’état de l’entité réelle. Les tolérances au maximum et minimum de matière sont des tolérances conditionnelles.
Les tolérances conditionnelles peuvent être traduites en exigences fonctionnelles sur les frontières virtuelles (VBR). La notion d’exigence sur les frontières virtuelles permet de définir le besoin fonctionnel lié à l’assemblage. Cependant elle ne donne aucune valeur aux tolérances qu’il faudra choisir pour assurer ce besoin. C’est donc à l’aide de tolérances conditionnelles que le concepteur pourra exprimer ces besoins. Malheureusement, le passage entre les VBR et les tolérances conditionnelles n’est pas unique, ni direct. Il n’existe à l’heure actuelle aucun outil de traduction entre ces deux modèles, bien que Srinivasan et Jayaraman aient proposé quelques voies de recherche [Srinivasan 85, Srinivasan 89].
Srinivasan reprend la sémantique mathématique du tolérancement proposée par Requicha [Requicha 83, Srinivasan 93]. Cette sémantique est définie selon la procédure d’inspection théorique suivante :
Une pièce fabriquée P, modélisée par un solide S, satisfait une spécification de tolérance T si et seulement si il existe une décomposition de dP (les frontières de P) en des sous-ensembles Gi (appelés surfaces actuelles de P) tels que :
· È Gi = dP.
· Il existe une correspondance bijective entre les éléments de Gi et les surfaces nominales des entités Fi du solide S.
· Chaque entité Gi satisfait une assertion Aij associée à l’entité Fi correspondante.
Les assertions Aij sont souvent de la forme : « il existe une zone de tolérance… qui contient… »
Une pièce P est conforme si et seulement si la procédure d’inspection précédente est respectée.

Géométrie variationnelle

Light et Gossard ont proposé un outil permettant de calculer la réduction des contraintes modélisant la géométrie d’un solide (en 2D) [Light 82]. Ils définissent pour cela une matrice jacobienne associée à la géométrie du solide En utilisant certaines propriétés de la matrice jacobienne, on peut valider une cotation. Ceci permet de vérifier la consistance des différentes contraintes entre les éléments constituant le solide, en prenant en compte les variations possibles des valeurs des paramètres. Une application possible est le stockage d’une famille de produits avec la liste des valeurs des dimensions des différentes variantes du produit.

Dimensionnement cinématique des mécanismes

Un assemblage est constitué de différentes pièces. Au cours de la fabrication, les dimensions de ces dernières peuvent varier. Il est intéressant de regarder comment réagit l’assemblage à ces variations de dimensions. En effet, si on peut connaître la contribution de la variation d’un paramètre sur la fonction d’assemblage, on pourra optimiser la fabrication des paramètres les plus prépondérants. C’est ce que l’on appelle l’analyse de sensibilité d’un assemblage. L’analyse de la sensibilité découle de l’analyse des tolérances. Chase et Huo proposent d’utiliser des polygones représentant les boucles vectorielles, modélisant les différentes interactions entre les pièces d’un mécanisme et de regarder l’effet des variations des dimensions des polygones. Pour trouver quelles sont les dimensions les plus critiques dans le comportement du mécanisme, on calcule les valeurs des dimensions donnant le mécanisme le moins sensible aux variations de ces dimensions. On parle alors de mécanisme robuste [Parkinson 85, Gao 95, Huo 96, Ravaut 99].
Enfin, une autre étude possible est de trouver le domaine de faisabilité du mécanisme en fonction des variations de ses dimensions puis, d’allouer les différentes tolérances de fabrication pour que le domaine couvert par ces tolérances soit optimum [Chase 91].

Intégration du tolérancement dans les modeleurs XAO

Depuis que les ordinateurs ont permis de définir la géométrie d’une pièce, on a essayé d’inclure dans les modèles de solides un modèle de représentation des tolérances. L’un des premiers modèles de tolérancement ajouté à un modèle de solides est celui proposé par Requicha sur le modeleur CSG PADL-2 de l’université de Rochester [Requicha 83].
Turner a proposé un modèle paramétrique CSG (GEOTOL) permettant de spécifier les tolérances comme des paramètres de variations de la géométrie nominale Turner 87.
Tous ces modèles ne sont pas adaptés à une utilisation courante dans les milieux de la fabrication. Les modèles CSG et BRep ne sont pas adaptés à représenter des objets tolérancés comme le préconise la norme. Seuls les modeleurs non-manifolds le pourraient peut être [Ballot 95a]. Certains modeleurs ne pourront même jamais être utilisés pour spécifier des tolérances. C’est le cas par exemple du modèle octree, car il ne permet même pas de spécifier la géométrie nominale. Cependant ce modèle est utile pour avoir une idée grossière de cette géométrie et il peut même être utilisé pour aider les calculs de balayage ou de modélisation des solides.
Il existe néanmoins de grands efforts industriels pour permettre d’intégrer le tolérancement dans un logiciel de CFAO. Notons par exemple l’intégration des SATT dans le logiciel CATIA © de Dassault Système [Salomons 97]. Du module TI/TOL 3D+ © de Pro-Engineer. Module développé à l’université de Young sur les travaux de Chase [Gao 95]. Une comparaison des différents outils d’aide au tolérancement dans des modeleurs CFAO a été faite par Salomons [Salomons 97]. De nombreux travaux devront encore avoir lieu avant de disposer d’outils complets permettant le traitement, à l’aide d’ordinateur, de tous les aspects du tolérancement dans le cycle de vie du produit.

Association des références

Une référence est une surface de forme parfaite qui est plus ou moins contrainte géométriquement suivant son ordre de précédence dans la construction du système de référence. Elle peut être simple si elle est définie à partir d’une seule entité élémentaire (point, droit, plan). Un système de référence est un ensemble de plusieurs références en orientation théorique exacte (orientation nominale). La norme NF ajoute que la position des références est unique mais dans le cas de l’utilisation du maximum de matière sur une référence, le système de référence peut devenir flottant.
Les pièces réelles ne pouvant généralement pas être de forme parfaite. Il subsiste toujours un défaut dans leur forme, position et orientation. Il faut donc effectuer une opération d’association entre la surface réelle et la surface parfaite qui va servir de référence.
Cette association entre les surfaces théoriques parfaites et les surfaces réelles pose un vrai problème. Plusieurs travaux ont proposé différentes méthodes permettant d’effectuer cette association [Mathieu 95, Mathieu 97b, Ballot 95a]. Les normes de tolérancement elles-mêmes proposent deux solutions différentes pour le cas de l’association d’une référence primaire plane. Ainsi, la norme ISO propose que l’association d’une référence soit la surface théorique parfaite qui permet de limiter la distance entre la surface réelle et la surface théorique (figure 15).
Le critère d’association de référence par la minimisation du défaut de forme conduit généralement à une association assez réaliste entre les deux surfaces. Néanmoins, quand le défaut de forme est assez prononcé sur une partie de la référence (figure 15) des cas d’associations plus réalistes peuvent être mis en œuvre. Pairel propose de minimiser le volume entre les deux surfaces au lieu de minimiser le défaut de forme [Pairel 95].

Table des matières

ABLES DES ILLUSTRATIONS
Liste des figures
Liste des tables
INTRODUCTION
CHAPITRE 1. ETAT DE L’ART SUR LE TOLÉRANCEMENT
1-1 Introduction
1-2 Tolérancement dans les métiers de la production
1-3 Définition mathématique du tolérancement
1-3.1 Abstraction au niveau de la pièce
1-3.2 Abstraction au niveau de l’assemblage
1-4 Outils d’analyse et de synthèse des tolérances
1-4.1 Analyse des tolérances
1-4.2 Synthèse des tolérances
1-4.3 Contrôle et inspection
1-4.4 Outils d’ingénierie simultanée
1-5 Modèles de spécifications
1-5.1 Modèles par décalage de surface
1-5.2 Modèle des exigences fonctionnelles sur les frontières virtuelles
1-5.3 Pièce virtuelle et pièce résultante
1-5.4 Modèles cinématiques
1-5.5 Modèles paramétriques
1-5.6 Tolérancement vectoriel
1-6 Normalisation du tolérancement
1-6.1 Vérification de la syntaxe des tolérances
1-7 Tolérancement et modeleurs volumiques
1-7.1 Modeleurs volumiques
1-7.2 Intégration du tolérancement dans les modeleurs XAO
1-8 Conclusion
CHAPITRE 2. ANALYSE DES SPÉCIFICATIONS EN ASSEMBLAGE
2-1 Introduction
2-2 Définitions et notions de base
2-2.1 Caractérisation d’une entité dimensionnelle
2-2.2 Calcul de la dimension d’assemblage
1-3 Références et système de références
1-3.1 Priorité des références
1-3.2 Association des références
1-3.3 Assemblage statique contre alignement des références
1-4 Modificateurs d’état
1-4.1 La fonction des modificateurs d’état
1-4.2 Modificateurs de référence
1-5 Tolérance de localisation d’une seule entité
1-5.1 Analyse des tolérances de localisation au maximum de matière
1-5.2 Analyse et interprétation par la surface
1-5.3 Définition de la condition virtuelle
1-5.4 Définition de la condition résultante
1-5.5 Analyse de l’interprétation par l’élément caractéristique
1-5.6 Tolérance de localisation au minimum de matière
1-5.7 Tolérance de localisation sans égard aux dimensions
1-6 Extension des fonctions de localisation
1-6.1 Tolérance de localisation d’un groupe d’éléments
1-6.2 Raffinement d’une tolérance de localisation
1-6.3 Tolérances combinées (composite tolerance)
1-7 Conclusion
CHAPITRE 3. MODÈLE CINÉMATIQUE DE TOLÉRANCEMENT
3-1 Introduction
3-2 Transfert de tolérances
3-2.1 Définition
3-2.2 Analyse ascendante et descendante
3-3 Rappel de l’approche cinématique de Rivest
3-3.1 Zones de tolérances
3-3.2 Le modèle cinématique de Rivest
3-3.3 Transfert de tolérance à l’aide du modèle cinématique
3-3.4 Contraintes du modèle cinématique pour le transfert de tolérances
3-3.5 Conclusion
3-4 Généralisation du modèle cinématique
3-4.1 Modèle cinématique plan
3-4.2 Modèle cinématique spatial
3-5 Méthode analytique d’analyse
3-5.1 Formulation générale
3-5.2 Calcul de l’intersection des zones de tolérance
3-5.3 Calcul de l’union des zones de tolérance
3-5.4 Analyse descendante
3-5.5 Analyse ascendante
3-5.6 Synthèse de tolérance de répartition
3-5.7 Conclusion
3-6 Méthode jacobienne d’analyse
3-6.1 Description de la chaîne cinématique
3-6.2 Définition des espace paramétriques
3-6.3 Calcul de la matrice Jacobienne
3-6.4 Application de la méthode jacobienne
3-7 Conclusion
CHAPITRE 4. SIMULATION DU MOUVEMENT DU CALIBRE VIRTUEL : APPLICATION À LA MESURE
4-1 Introduction
4-2 Méthodes traditionnelles de contrôle
4-2.1 Contrôle par calibre fonctionnel
4-2.2 Méthode graphique de contrôle de pièces (paper gaging)
4-3 Ensemble des situations de l’axe du calibre (ESAC)
4-3.1 Définition et détermination de l’ESAC
4-3.2 Exemple d’application de l’ESAC
4-3.3 Calcul de la valeur effective
4-4 Vérification des pièces comportant des modificateurs d’état au maximum de matière
4-4.1 Mesure d’un groupe d’entité avec une orientation constante du référentiel
4-4.2 Mesure d’une entité avec orientation variable du référentiel
4-4.3 Mesure d’un groupe avec orientation variable du référentiel
4-5 Conclusion
CHAPITRE 5. EXTENSION DES PIÈCES VIRTUELLES ET RÉSULTANTES
5-1 Introduction
5-2 Pièce au maximum et minimum de matière
5-2.1 Cas unidimensionnel de Parratt
5-2.2 Extension au tolérancement géométrique
5-3 Pièce virtuelle et pièce résultante
5-3.1 Exemple introductif
5-3.2 Création de la pièce virtuelle et de la pièce résultante
5-4 Conclusion
CONCLUSION ET PERSPECTIVES
Perspectives
NORMES
RÉFÉRENCES

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