Analyse des conditions de la dévolution de la mathématisation horizontale aux élèves

Explicitation des différentes phases du dispositif ResCo

   Le dispositif de résolution collaborative de problèmes repose sur des échanges entre des classes,regroupées par groupes de trois, qui travaillent sur le même problème de recherche. Tous les niveaux du secondaire de la 6ème à la Terminale (de 11 à 18 ans) sont potentiellement concernés, rajoutant en cela une contrainte sur le choix du problème à proposer. Par ailleurs, le dispositif s’étale sur cinq semaines (à raison d’une séance par semaine), durant lesquelles une collaboration entre les classes est organisée. Cela implique que le problème proposé par le groupe ResCo doit ne pas être repérable sur un moteur de recherche sur internet, amenant le groupe à le formuler sous une forme inédite. Le schéma suivant rend compte des différentes phases de l’organisation du dispositif ResCo sur lesquelles nous revenons spécifiquement dans la suite en illustrant les différentes phases dans le cas de la fiction réaliste proposée en 2012-2013.

La relance

  La relance élaborée par les membres du groupe et signée par l’enseignant-chercheur du groupe ResCo, fixe des choix en les motivant et vise à orienter la recherche vers un problème mathématique commun. En prenant en compte les échanges de questions-réponses des élèves (accessibles sur le forum), le groupe ResCo adapte les choix de modélisation possibles réfléchis en amont lors de leur analyse préalable réalisée pendant l’élaboration de la fiction réaliste. La relance permet d’expliciter les choix faits parmi ceux envisagés par les élèves lors de la phase des questions-réponses. Les intentions du groupe ResCo sont de rendre visible pour les élèves la nécessité de faire des choix pour résoudre le problème. Lors de la séance 4, les élèves poursuivent la recherche de ce même problème mathématique, issu des choix de modélisation fixés par la relance de l’équipe ResCo.

La clôture du problème

   Les intentions du groupe ResCo pour la cinquième et dernière séance sont d’inviter les enseignants à réaliser un bilan avec leurs élèves pour clore la session. Le groupe réalise à partir de toutes les productions d’élèves déposées sur le forum, un bilan des notions et compétences mathématiques travaillées que le problème a permis de mettre en œuvre, un bilan des compétences heuristiques développées et des éléments de solution mathématique du problème. Ces différents documents sont déposés sur le forum, les enseignants sont libres de les utiliser ou pas. L’objectif du groupe ResCo est de les accompagner dans la mise en œuvre de leur bilan avec les élèves.

Vers l’élaboration d’un questionnement de recherche

   Le groupe ResCo a apporté des éléments de réponse aux questions professionnelles initiales tant au niveau de l’élaboration de situations porteuses d’une activité de modélisation qu’au niveau de la mise en œuvre d’une telle situation. La phase de questions-réponses du dispositif a retenu notre attention : les élèves semblent avoir la responsabilité de faire des choix et prendre conscience de la nécessité d’en faire afin d’envisager un traitement mathématique pour répondre à la question posée. Les problèmes proposés par le groupe ResCo étant des contextualisations « réalistes » de problèmes mathématiques, les choix que sont amenés à faire les élèves relèvent de choix de modélisation pour se ramener à un problème mathématique à résoudre. La phase de questions-réponses pour un problème donné, qui n’est pas indépendante du reste de la résolution de ce problème, semble favoriser l’entrée dans la mathématisation12 du problème. Dans les travaux autour du groupe ResCo, il n’y a pas eu d’étude de cette phase du point de vue de son enjeu dans un processus de modélisation. Nous proposons d’étudier cet enjeu du point de vue de la recherche à partir d’autres types d’énoncés relevant d’adaptations de problèmes issus de la réalité afin d’étudier la mathématisation qui se joue lors de la phase de questions-réponses. Ces énoncés devront remplir les conditions qui spécifient une fiction réaliste et nous réfléchirons aux éventuelles autres conditions associées. Nous formulons l’hypothèse de recherche suivante : Le dispositif proposé par le groupe ResCo favorise la dévolution aux élèves de la mathématisation lors de la phase de questions-réponses. Pour mettre à l’étude cette hypothèse, nos réflexions s’orientent sur plusieurs axes :
 la nécessité de clarifier ce que l’on entend par modélisation et mathématisation.
 la nécessité d’identifier les enjeux d’apprentissages mathématiques lors de la phase de questions-réponses.
 l’intérêt de questionner les pratiques professionnelles de chercheurs utilisant la modélisation mathématique et mieux identifier les mathématiques et leurs interactions dans leurs champs d’application, dans la perspective de penser leur transposition à la classe.
 l’identification des conditions et des contraintes pour la construction d’énoncés propices à la dévolution de la mathématisation aux élèves.
 la caractérisation des modalités de mise en œuvre favorisant l’engagement des élèves dans le processus de mathématisation de situations posées en dehors des mathématiques
 l’identification des conditions et des contraintes pour que les enseignants fassent vivre la phase de questions-réponses dans la classe en cohérence avec les objectifs du groupe ResCo visés pour cette phase. Malgré les retours positifs au fil des ans de la majorité des enseignants mettant en œuvre une session collaborative ResCo, on peut faire l’hypothèse que les enjeux et les ressorts de cette phase de questions- réponses du point de vue du processus de modélisation ne sont pas toujours très bien identifiés par les enseignants.

THEORIE DE LA TRANSPOSITION DE PRATIQUES SOCIALES DE REFERENCE

   Nous empruntons à Martinand (1986) la notion de pratiques sociales de référence. Les pratiques sociales de référence sont des activités par rapport auxquelles un apprentissage prend du sens pour un apprenant ; l’activité ne se réduit pas à un rapport individuel au savoir et se définit comme étant ce que met en jeu le sujet pour satisfaire aux exigences de la tâche. Dans ce cadre, « l’idée de référence ne signifie pas que les activités scolaires doivent être identiques à celles des pratiques invoquées » (Martinand, 1986, p.104) d’où l’idée de transposition. Dans notre étude,à partir des pratiques expertes identifiées relevant de la mathématisation horizontale, nous envisageons leur transposition dans les classes dans une activité de modélisation en nous appuyant sur ces pratiques, d’une part, pour élaborer la situation à proposer dans les classes, d’autre part pour le choix des modalités de sa mise œuvre.

L’enjeu d’apprentissage de la modélisation mathématique au sein de l’ICTMA

   L’activité de modélisation en mathématiques, son apprentissage et son enseignement dans les classes du secondaire à l’université étant un sujet de premier plan au cours des dernières décennies dans les travaux de la commission internationale de l’enseignement mathématique (ICMI), nous avons fait le choix d’analyser dans ces travaux en quoi et comment l’enseignement de la modélisation mathématique s’inscrit dans l’enseignement des mathématiques. Depuis 1983, « Le Groupe d’étude international pour la modélisation et les applications mathématiques (ICTMA) » affilié à la commission internationale de l’enseignement mathématique (ICMI) promeut les applications et la modélisation (A&M). Lors de réunions biennales, une série de conférences propose de discuter de tous les aspects des applications pédagogiques de la modélisation dans tous les domaines et à tous les niveaux de l’enseignement des mathématiques – écoles primaires et secondaires, collèges et universités. Pour préciser l’enjeu de l’enseignement de la modélisation mathématique dans l’enseignement des mathématiques, nous avons choisi d’analyser l’évolution des enjeux de la modélisation mathématique dans l’enseignement des mathématiques de 1983 à nos jours. Dans les travaux de ICTMA 1 (1983) à ICTMA 3 (1987), l’accent est mis sur le développement de nouvelles façons de concevoir des cours de modélisation, en particulier en créant de nouveaux exemples et en élargissant des thèmes mathématiques à aborder avec un esprit de modélisation (voir par exemple Berry (1984, 1986 , 1987) ; Blum (1985)). Des travaux de recherche s’intéressent alors aux difficultés rencontrées par les élèves pour mobiliser et construire ces compétences, comme par exemple les travaux de Kaiser-Meßmer (1986). Dans ses recherches elle distingue dans une résolution d’un problème du monde réel :
 d’une part, les capacités nécessaires pour appliquer des mathématiques connues comme le développement de stratégies heuristiques
 d’autre part, des capacités en modélisation, comme les aptitudes à construire des modèles, qui font référence aux différentes étapes d’un processus de modélisation, décrit comme un cycle à partir du monde réel allant au monde mathématique et revenant au monde réel. S’en suivent à partir des travaux de l’ICTMA 4 (1989) des réflexions sur les compétences associées à la modélisation, un thème de discussion encore très important dans les travaux actuels. En particulier, est affinée la distinction des différents types de capacités nécessaires dans un processus de modélisation en distinguant les compétences techniques et stratégiques des autres compétences nécessaires comme sélectionner des variables pertinentes, identifier les questions à se poser, générer des relations entre les variables et choisir des relations pertinentes. De nombreux travaux s’orientent vers la clarification entre les relations qui devraient exister entre le développement de concepts en mathématiques et le développement des compétences en résolution de problèmes débouchant entre autre sur le concept de métacognition.Les travaux de recherche à partir de l’ICTMA 6 (1993) s’ouvrent sur l’étude du rôle de la métacognition dans l’enseignement et l’apprentissage de la modélisation en particulier dans la phase du passage du monde réel au monde mathématique (Matos & Carreira, 1995). Se pose alors la question : pourquoi enseigner la modélisation en mathématique ? Lors de l’ICTMA 7 (1995), Blum (1995, p.6) donne quatre principaux arguments :
 Un argument pragmatique : cela permet aux élèves de comprendre et de faire face aux situations du monde réel en les préparant ainsi à leur future vie en tant que citoyens responsables et travailleurs compétents.
 Un argument formatif : Permettre aux élèves d’acquérir la capacité à communiquer ou coopérer avec d’autres, et développer chez eux la volonté d’entrer dans des situations nouvelles.
 Un argument culturel : en proposant de véritables activités de modélisation en classe,les mathématiques apparaissent pour les élèves comme une source de réflexion générant ainsi une image des mathématiques aussi complète et équilibrée que possible, en tant que science et en tant que partie de la culture humaine.
 Un argument psychologique : Contribuer à modifier l’attitude des élèves vis-à-vis des mathématiques, en particulier les interprétations du monde réel peuvent favoriser la compréhension des concepts mathématiques, ainsi que fournir des contextes appropriés pour raisonner mathématiquement. Souvent pour les élèves faire des mathématiques relève d’activités mécaniques avec de la manipulation de symboles sans réelle signification. A&M [que nous traduisons par Application et Modélisation] est une façon de rendre l’apprentissage et l’enseignement des mathématiques plus pertinents. De l’ICTMA 8 à 18 (de 1997 à 2017), nous retrouvons des travaux autour de l’enseignement de la modélisation mathématique mettant l’accent sur le travail mathématique induit par l’activité de modélisation. Par exemple, dans les travaux de l’ICTMA 12 (2005), tout un chapitre est consacré à l’étude des compétences nécessaires dans une activité de modélisation mathématique. Cette étude est reprise dans les travaux de Maaß (2007, p.76) lors de l’ICTMA 13 (2007). Maaß (Ibidem) ajoute aux compétences identifiées par Blum (citées précédemment), les compétences suivantes :
 Des compétences métacognitives
 Des compétences pour structurer la situation réelle
 Des compétences pour mettre les variables en relation en argumentant
 Des compétences pour voir les possibilités offertes par les mathématiques pour la solution des problèmes du monde réel et pour considérer ces possibilités comme positives

Table des matières

REMERCIEMENTS
RESUME
INTRODUCTION GENERALE
PARTIE 1 CHEMINEMENT VERS LA PROBLEMATIQUE DE LA THESE 
Sommaire de la partie 1
Chapitre 1 : Questionnement professionnel et problématique 
1-1 Origine du projet de recherche
1-2 Le travail du groupe ResCo
1-2-1 Caractéristiques des énoncés proposés par le groupe ResCo
1-2-2 Explicitation des différentes phases du dispositif ResCo
1-3 Vers l’élaboration d’un questionnement de recherche
Chapitre 2 : Questions de recherche Ancrages théoriques et méthodologie de la recherche 
2-1 Problématique et questions de recherche
2-2 Méthodologie de recherche et cadre théorique
2-2-1 L’ingénierie didactique
2-2-2 Concepts spécifiquement étudiés
LE CONCEPT DE DEVOLUTION
THEORIE DE LA TRANSPOSITION DE PRATIQUES SOCIALES DE REFERENCE
LA DOUBLE APPROCHE DIDACTIQUE ET ERGONOMIQUE
2-3 Structure du manuscrit
2-4 Architecture de la thèse
Chapitre 3 : La modélisation mathématique 
3-1 L’enjeu d’apprentissage de la modélisation mathématique au sein de l’ICTMA
3-2 Une classification du type de schémas représentant le processus de modélisation
3-2-1 Le premier groupe
3-2-2 Le deuxième groupe
3-2-3 Les troisième et quatrième groupes
Conclusions de la partie 1
PARTIE 2 ETUDE D’EPISTEMOLOGIE CONTEMPORAINE 
Sommaire de la partie 2
Chapitre 4 Mathématisation horizontale et verticale 
4-1 La modélisation mathématique, une nouvelle forme de mathématisation (Israël G.)
4-2 La mathématisation horizontale et verticale dans la RME
4-2-1 Les travaux de la Realistic Mathematics Education
4-2-2 La mathématisation selon Freudenthal
4-2-3 Mathématisation horizontale et mathématisation verticale dans la RME
4-3 Trois exemples de travaux faisant référence aux aspects horizontal et vertical de la mathématisation
4-3-1 Dans les travaux de Barnes
4-3-2 Dans les travaux de Rasmussen & al.
4-3-3 Dans les travaux d’Ouvrier-Buffet (2013)
4-3-4 Dans les travaux de Pisa
4-4 La mathématisation horizontale dans notre recherche
4-4-1 Les définitions retenues dans notre travail
4-4-2 Les formes de la mathématisation horizontale dans notre étude
4-4-3 Les formes de la mathématisation verticale dans notre étude
4-5 Ebauche du schéma du processus de modélisation pour notre étude
Chapitre 5 : Eléments d’enquête sur les pratiques expertes associées à une activité de modélisation mathématique 
5-1 Caractérisations de l’activité de recherche en mathématique à partir de deux exemples
5-1-1 Caractérisations de l’activité de recherche en mathématique dans le cadre des SiRC
5-1-2 Caractérisations de l’activité de recherche en mathématique à partir d’une enquête d’épistémologie contemporaine sur les pratiques expertes
5-2 Les modalités de notre enquête d’épistémologie contemporaine sur les pratiques expertes en modélisation mathématique dans les sciences du vivant
5-3 La modélisation mathématique dans les sciences du vivant
5-3-1 Evolution de la modélisation dans les sciences du vivant
5-3-2 Les fonctions principales des modèles dans les sciences du vivant
Chapitre 6 : Entretiens avec des chercheurs dans le domaine des sciences du vivant 
6-1 Choix de l’étude par des entretiens
6-1-1 Pourquoi des entretiens ?
6-1-2 Le panel des chercheurs interviewés
6-2 Méthodologie des entretiens : l’entretien de type compréhensif
6-3 Présentation de la grille d’entretien
6-4 Analyse des entretiens
6-5 Présentation de nos résultats
6-5-1 Caractéristiques des pratiques retenues pour notre recherche
6-5-2 Schéma du processus de modélisation retenu pour notre étude
Conclusions de la partie 2
PARTIE 3 ETUDE DIDACTIQUE 
Chapitre 7 : Etude préliminaire 
7-1 Premiers éléments à partir du mémoire de Ray (2013)
7-1-1 La fiction réaliste proposée
7-1-2 Synthèse des analyses et des résultats obtenus
7-1-3 Ce que nous en retenons pour notre étude
7-2 Notre pré expérimentation en 2013-2014
7-2-1 Premiers résultats sur la dévolution de la mathématisation horizontale
7-2-2 Ce que nous en retenons pour notre étude
VOLET 1 : LA DEVOLUTION DE LA MATHEMATISATION HORIZONTALE AUX ELEVES
Sommaire du volet 1 de la partie 3
Présentation du volet 1
Chapitre 8 : Elaboration et analyse a priori de la fiction réaliste « L’arbre »du point de vue de la mathématisation horizontale 
8-1 Les caractéristiques d’une fiction réaliste selon notre étude
8-2 Genèse de l’élaboration de la situation de la fiction réaliste « L’arbre »
8-3 Catégorisation a priori des questions
8-4 Eléments d’analyse a priori du travail de mathématisation verticale lors de la phase des questionsréponses
8-5 Indicateurs de dévolution de la mathématisation horizontale aux élèves
8-5-1 Indicateurs de dévolution aux élèves de la mathématisation horizontale pour la phase de l’élaboration des questions
8-5-2 Indicateurs de dévolution aux élèves de la mathématisation horizontale pour la phase de l’élaboration des réponses
Chapitre 9 : Analyse a posteriori de la dévolution aux élèves de la mathématisation horizontale 
9-1 Analyse a posteriori des questions des élèves
9-1-1 Au regard des catégories des questions définies a priori
Questions relatives au Groupe « modèle »
Questions relatives au Groupe « paramètres extérieurs »
Questions relatives au Groupe « Serre »
Questions relatives au Groupe « Précisions »
SYNTHESE DES RESULTATS
9-1-2 Au regard des indicateurs de dévolution de la mathématisation horizontale
9-1-3 Synthèse
9-2 Analyse a posteriori des réponses des élèves
9-2-1 Analyse a posteriori de la dévolution de la mathématisation horizontale dans les productions des réponses
9-2-2 Synthèse des résultats
Conclusions du volet 1 de la partie 3
VOLET 2 : OBSTACLES ET LEVIERS RELATIFS AUX PRATIQUES ENSEIGNANTES POUR UNE DEVOLUTION DE LA MATHEMATISATION HORIZONTALE AUX ELEVES
Sommaire du volet 2 de la partie 3
Présentation du volet 2
Chapitre 10 : Problématique, cadre théorique et hypothèses de recherche sur les pratiques des enseignants à propos de l’enjeu d’apprentissage de la mathématisation horizontale -Méthodologie de recherche associée
10-1 Problématique sur les pratiques enseignantes liées à l’enjeu d’apprentissage de la mathématisation horizontale et cadre théorique retenu
10-2 La mathématisation horizontale et les programmes français de mathématiques dans le secondaire
10-2-1 La mathématisation horizontale et la compétence Modéliser en cycle 4
10-2-2 La mathématisation horizontale et les autres compétences mathématiques en cycle 4
10-2-3 La mathématisation horizontale dans les programmes du lycée général
10-2-4 Synthèse de notre analyse des programmes du secondaire
10-3 Des obstacles liés à l’enseignement de la modélisation mathématique
10-4 Hypothèses de recherche sur les pratiques enseignantes relevant de l’apprentissage de la mathématisation horizontale
10-5 Description et méthodologie
Chapitre 11 Mise à l’épreuve des hypothèses de recherche- Analyses et résultats 
11-1 Mise à l’épreuve de HRLevier-ResCo1
11-1-1 Selon l’indicateur 1-ResCo1
11-1-2 Selon l’indicateur 2-ResCo1
11-1-3 Selon l’indicateur 3-ResCo1
11-1-4 Synthèse des résultats au regard de l’hypothèse HRLevier- ResCo1
11-2 Mise à l’épreuve de HRLevier-ResCo2
11-2-1 Analyses à partir des trois vidéos
11-2-2 Synthèse des résultats au regard de l’hypothèse HRLevier- ResCo2
11-3 Mise à l’épreuve de HRLevier-ResCo3
11-3-1 Selon l’indicateur 1-ResCo3
11-3-2 Selon l’indicateur 2-ResCo3
11-3-3 Selon l’indicateur 3-ResCo3
11-3-4 Synthèse des résultats au regard de l’hypothèse HRLevier- ResCo3
11-4 Synthèse
Conclusions du volet 2
CONCLUSIONS GENERALES ET PERSPECTIVES
Éléments de réponse apportés aux questions QR1 QR2, QR3
Éléments de réponse apportés aux questions QR4 et QR5
Éléments de réponse apportés à la question QR6
Questions ouvertes
Perspectives de recherche
Annexes

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