Analyse de la pratique enseignante

ANALYSE DE LA PRATIQUE ENSEIGNANTE

Plusieurs éléments seront pris en considération dans l’analyse de la pratique enseignante, tel qu’énoncé dans la section 2.3. En effet, la pratique enseignante sera d’abord analysée par une première approche didactique qui s’inspire du discours, des tâches demandées, de la gestion des incidents, de l’utilisation du tableau et du traitement des difficultés lors de l’enseignement. Par la suite, la pratique enseignante sera analysée selon une approche ergonomique dans laquelle les pratiques enseignantes ne visent pas nécessairement à faire réussir les étudiants mais davantage à répondre aux besoins de l’enseignant qui exerce un métier. La démarche d’analyse dans chacune de ses deux approches complémentaires est décrite brièvement dans les sections suivantes.

Puisque notre analyse d’une pratique enseignante comporte beaucoup d’éléments, nous avons décidé de faire une analyse complète pour chacune des techniques d’intégration.
C’est à partir de ces analyses que nous avons été en mesure de reconnaître les routines de l’enseignant d’un cours à l’autre et ses improvisations. Le chapitre 5 présentera ainsi un sommaire de ces cinq analyses détaillées.

L’ANALYSE DU DISCOURS

L’analyse du discours de l’enseignant sera effectuée par rapport à ses fonctions, ses buts et par la structure des échanges entre l’enseignant et les étudiants. Pour ce faire, nous avons utilisé la grille de traitement du discours et de l’activité en classe présenté à la section 3.2.2.2. Ainsi, dans un premier temps, pour chacune des interventions de l’enseignant nous avons déterminé sa fonction, cognitive ou non cognitive, ainsi que sa sous-catégorie telle que défini à la section 2.3.1.3. Le même travail a été effectué pour le but, à savoir si l’intervention avait pour objectif de mettre l’étudiant en activité ou si le professeur était en charge de son enseignement. Chacun des buts est également défini par son sous-but, tel que défini à la section 2.3.1.3.

Tel que mentionné précédemment, chaque intervention a été numérotée dans la grille de traitement. Le découpage de ces interventions est fait de telle sorte que chaque intervention à un but et une fonction. Ainsi, une intervention peut être un segment de phrase ou encore un petit paragraphe, tant que l’objectif de l’enseignant demeure le même tout au long de l’intervention. Toutefois, une nouvelle intervention est ajoutée après la prise de parole d’un étudiant, même si le but et la fonction sont demeurés les mêmes pour l’enseignant. À quelques reprises, une intervention pouvait avoir deux sous-fonctions différentes ou deux sous-buts différents selon le contexte.

Afin de traiter ces données, un tableau Excel a été créé où chacun des buts et des fonctions sont répertoriés selon le numéro d’intervention et l’épisode. Quatre tableaux ont été créés pour chacune des sections du volume, un pour l’intégration par manipulation algébrique, un pour l’intégration par partie, un pour l’intégration des fonctions trigonométrique et l’intégration par substitution trigonométrique et un dernier pour l’intégration par la méthode des fractions partielles.
Pour chacun des épisodes, huit tableaux croisés dynamiques, et leur diagramme, ont été créés afin de représenter : 1) le nombre d’interventions ayant une fonction cognitive ou non cognitive; 2) la distribution des fonctions cognitives; 3) la distribution des fonctions non cognitives; 4) la distribution des fonctions cognitives et non cognitives (avec les sous-catégories); 5) le nombre d’interventions selon le but; 6) la distribution des buts visant à mettre les étudiants en activité; 7) la distribution des buts de ce que l’enseignant prend en charge; 8) la distribution des buts avec ses sous-catégories. Ces huit tableaux ont également été faits pour l’ensemble des interventions d’une séance de cours.

Finalement, les échanges entre l’enseignant et les étudiants étant peu nombreux, ceux-ci ont été identifiés et inscrits au tableau selon le nombre d’interventions relié à l’échange. Pour chaque cours, un tableau croisé dynamique a été fait afin de répertorier le nombre d’échange en classe ainsi que leur forme.

ANALYSE DES TÂCHES DEMANDÉES

À partir du verbatim et des interventions de l’enseignant, nous avons répertorié toutes les questions ou interventions de l’enseignant qui demandaient aux étudiants d’accomplir une tâche. Une fois celles-ci répertoriées, elles ont été classifiées selon une tâche simple et isolée, simple ou complexe. Les données récoltées ont été ajoutées dans le tableau avec l’intervention correspondante. De même que pour l’analyse du discours, un tableau croisé dynamique est effectué pour chacun des épisodes et pour chacun des cours.

Afin de se donner une idée plus précise du nombre de tâches simples et isolées, simples et complexes d’un cours à l’autre ou même d’un problème à un autre, nous avons également créé des diagrammes où l’on représente les tâches de cours en pourcentage des tâches totales. Par exemple, dans le premier cours, nous avons 49 tâches dont 33 sont simples et isolées, 10 sont simples et 6 sont complexes. Nous l’écrivons et représentons graphiquement que 67 % des tâches sont simples et isolées, 21 % sont simples et 12 % sont complexes.

ANALYSE DE LA GESTION DES INCIDENTS

À partir de la transcription des cours, tous les incidents, c’est-à-dire tout acte ou intervention publique d’un étudiant qui démontre une incompréhension, ont été répertoriés et numérotés. Pour chacun des incidents, le type d’incident, la gestion de l’incident et l’emplacement de celui-ci ont été classifiés. Aux différents types d’incidents de la section 2.3.1.4 qui découlent de Roditi (2003), nous avons ajouté l’erreur de l’enseignant qui est amené par l’étudiant en salle de classe, puisque celui-ci était présent dans nos analyses et apportait des renseignements intéressants. De même, nous avons séparé pour la gestion « lui répondre » par « lui répondre avec explication supplémentaire » et par « lui répondre sans explication supplémentaire ». Dans le même ordre d’idée, nous avons également ajouté « relancer l’étudiant sans le guider » puisque la gestion « relancer l’étudiant en le guidant (lui ou un autre) vers le bon raisonnement » n’était pas toujours adéquate.

Pour les incidents représentant un « silence de la classe », nous avons décidé de garder ceux dont le silence était suffisamment long pour que les étudiants aient le temps de donner une réponse ou que l’enseignant ait le temps de faire une relance.
Tous ces incidents ont été ajoutés dans le tableau à l’endroit correspondant dans nos interventions. Des tableaux croisés dynamiques ont permis de faire un croisement entre le type d’incident, sa gestion et son emplacement. Ces tableaux croisés dynamiques ont été effectués pour tous les épisodes et pour chacun des cours.

EXEMPLE DE TABLEAU POUR L’ANALYSE DU DISCOURS, DES TÂCHES ET DES INCIDENTS

En utilisant le découpage des vingt-six premières interventions du premier cours, illustré au tableau 5, la catégorisation du discours, des tâches et des incidents est figurée dans le tableau 8.

C’est avec ces données que les tableaux croisés dynamiques et les graphiques sont effectués. Par exemple, on retrouve pour l’exemple d’introduction le tableau 7 ainsi que la figure 3 correspondante.

ANALYSE DE L’ACTIVITÉ AU TABLEAU

Les questions posées par Robert et Vandebrouck (2002) ont été notre guide afin d’analyser l’activité au tableau. Les questions utilisées sont présentées à l’annexe 3. Durant notre observation, nous avons rapidement constaté que l’enseignant utilisait deux tableaux et que chaque tableau avait sa fonction particulière. Ainsi, il nous a semblé judicieux de faire l’analyse d’abord du tableau interactif et ensuite du tableau blanc.

ANALYSE DU TRAITEMENT DES DIFFICULTÉS

Préalablement, tel qu’indiqué dans la section 3.3, chacune des tâches a été analysée, c’est-à-dire que pour chaque exemple présenté par l’enseignant, toutes les difficultés telles que définies à la section 2.2.3.1 ont été répertoriées. Dans un premier temps de l’analyse,pour chaque difficulté répertoriée, une description des mesures prises par l’enseignant a été énumérée soit par le discours, l’utilisation du tableau ou toute autre mesure. Nous avons alors constaté que l’enseignant utilisait beaucoup les mêmes stratégies pour une difficulté donnée. Nous avons ainsi décidé de présenter à la section 5.5 portant sur le traitement des difficultés, les stratégies d’enseignement pour chacune des difficultés rencontrées, peu importe la technique d’intégration enseignée.

ANALYSE ERGONOMIQUE

Finalement, nous avons fait une analyse à l’aide de la psychologie ergonomique. Dans un premier temps, nous avons noté tous les événements qui nous semblaient relier à un des trois principes qui décrivent la nécessité professionnelle de l’enseignant. Nous les avons notés dans notre journal de bord tout au long de notre observation, du traitement des données et de notre analyse. C’est avec ces pistes en tête que nous avons pu relier certaines décisions de l’enseignant avec les principes de Roditi (2003).

ANALYSE A PRIORI DES TÂCHES PROPOSÉES

INTRODUCTION

Afin de déterminer le rôle des pratiques effectives d’enseignement dans les difficultés constatées chez les étudiants avec les techniques d’intégration, il nous est impératif d’analyser les tâches auxquelles ils sont confrontés. Ce chapitre aura donc pour but de présenter une analyse détaillée des exemples présentés en classe et des exercices suggérés aux étudiants.

Mentionnons que toutes les techniques d’intégration analysées servent d’outil et leur statut dans le programme est de répondre à l’élément de compétence « déterminer l’intégrale indéfinie d’une fonction » et aux deux critères de performance « manipulations algébriques conformes aux règles » et « choix et application juste des règles et des techniques d’intégration » (Gouvernement du Québec, 2000). De plus, pour tous les problèmes analysés, le but recherché par l’enseignant à travers les tâches demandées est de mettre en fonction un outil de résolution d’une intégrale. Ainsi, l’énoncé des questions portera davantage sur la méthode que sur le résultat attendu. La production demandée est une fonction, soit le résultat de l’intégrale.

Ce chapitre aura pour objectif de présenter les analyses des cinq techniques d’intégration (section 4.2 à 4.6) : 1) avec manipulations algébriques; 2) par parties; 3) avec manipulations trigonométriques; 4) avec substitutions trigonométriques; 5) par la méthode des fractions partielles. Une analyse de l’examen (section 4.7) présentée aux étudiants conclura le chapitre.

L’INTÉGRATION PAR MANIPULATION ALGÉBRIQUE

La première technique d’intégration enseignée est l’intégration avec manipulations algébriques diverses qui représente la section 1.6 du volume. Soulignons que selon l’ordre du volume, cette technique aurait dû suivre la notion du changement de variable qui a eu lieu dans le premier quart de la session plutôt que dans le troisième comme choisi par l’enseignant.

Trois manipulations algébriques sont introduites dans cette section, soit la séparation de fraction, la complétion de carré et la division de polynôme. La première peut être utilisée lorsque l’intégrale à résoudre est une fraction avec un polynôme au dénominateur. La complétion de carré peut quant à elle être utilisée lorsque l’on retrouve un polynôme au dénominateur avec ou sans radicaux. La dernière méthode est utilisable dès que le degré du numérateur est supérieur à celui du dénominateur.

PRÉSENTATION DE LA NOTION

Pour la section 1.6, aucune nouvelle notion n’est enseignée. Nous sommes dans une situation où nous souhaitons mettre en extension des notions déjà introduites. En effet, le concept d’intégrale et de changement de variable a déjà été vu par les étudiants plus tôt dans la session. De plus, on ajoute à la résolution d’intégrale la séparation de fraction, la complétion de carré et la division de polynôme, trois méthodes vues au secondaire et révisées dans le cours de calcul différentiel. Tous les éléments ajoutés servent d’outil afin de résoudre de nouveaux types d’intégrales.

LES EXEMPLES PRÉSENTÉS EN CLASSE

En général, les questions de la section sont implicites, mais elles pourraient être « résoudre les intégrales suivantes » et ne présentent aucune indication quant à la méthode à résoudre et ne comportent aucune étape. Seul le paragraphe d’introduction de la section permet de deviner que la méthode à utiliser découle de manipulations algébriques ou plus spécifiquement de la complétion de carré, de la division de polynôme ou de la séparation de fraction. On constate également qu’aucun habillage autour de la question n’a été fait.

Le niveau présenté est celui des connaissances mobilisables, car nous retrouvons quand même quelques indices sur la façon de procéder (bien qu’on ne spécifie pas lesquels) et les problèmes demandent la plupart du temps plusieurs étapes. En fait, le but est de transformer un nouveau problème dans une forme connue à l’aide d’opérations algébriques déjà acquises.

Plus spécifiquement, six intégrales sont effectuées par l’enseignant. De ces six problèmes, on en retrouve une du premier type, deux du deuxième type, deux du troisième type et une du dernier type. Soulignons également que les deux problèmes de type 2 possèdent chacun une méthode alternative de résolution (substitution trigonométrique et fraction partielle). Cependant, ces deux méthodes n’ont pas encore été enseignées à ce stade du cours.

Ainsi, dans les six intégrales présentées, nous pouvons voir que la difficulté la plus fréquemment rencontrée est le changement de point de vue sans indication qui est le point de démarrage de toutes les résolutions d’intégrale. Les différentes tactiques utilisées sont également présentées à plusieurs occasions, à l’exception de la division de polynômes qui n’a été présenté qu’à une seule reprise.

LES EXERCICES

La première série d’exercices suggérée par l’enseignant pour la section sur l’intégration avec manipulations algébriques diverses est composée de dix intégrales choisies dans le volume du cours. Huit des dix intégrales sont de niveau technique, car les étapes à effectuer pour résoudre le problème sont explicitées. De plus, soulignons que les différentes étapes énoncées sont liées entre elles, c’est-à-dire que la première étape permet d’arriver à la deuxième et ainsi de suite. Les deux dernières intégrales sont quant à elles du niveau des connaissances mobilisables, car la méthode n’est pas spécifiée bien que la section présuppose que les techniques possibles sont soit la complétion de carré, la division de polynôme ou la séparation de fraction.

LES EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES

Les exercices supplémentaires de la section portant sur les intégrations avec manipulations algébriques diverses comportent huit intégrales à résoudre. La question est d’évaluer les intégrales suivantes et l’on offre un indice qui stipule qu’une complétion de carré doit être effectuée pour chacun des problèmes.

La première intégrale présentée est un exercice de niveau technique et ne comporte aucune difficulté particulière. Les sept autres intégrales sont du quatrième type et sont du niveau des connaissances mobilisables et plutôt semblables par rapport à leur résolution et aux difficultés rencontrées.Sur les huit problèmes présentés, un seul se résout par une autre méthode que la complétion de carré, soit par la méthode des fractions partielles qui demande moins de manipulations algébriques que la méthode suggérée en plus d’obtenir directement la solution sous sa forme la plus simplifiée. De plus, soulignons que le septième problème, bien que semblable aux autres, demande néanmoins une manipulation de fraction et de nombre rationnel qui rend les calculs moins aisés.

Table des matières

RÉSUMÉ
TABLE DES MATIÈRES 
LISTE DES TABLEAUX 
LISTE DES FIGURES 
REMERCIEMENTS 
CHAPITRE 1 PROBLÉMATIQUE 
1.1 INTRODUCTION
1.2 LES MATHÉMATIQUES DU COLLÉGIAL : UN TAUX D’ÉCHEC ÉLÉVÉ
1.4 LES PERCEPTIONS DES ÉTUDIANTS ET ENSEIGNANTS DU COLLÉGIAL DES CAUSES DES ÉCHECS SCOLAIRES
1.4.1 PERCEPTIONS DES ÉTUDIANTS DES CAUSES DES ÉCHECS SCOLAIRES
1.4.2 PERCEPTIONS DES ENSEIGNANTS DU COLLÉGIAL DE L’ÉCHEC SCOLAIRE ET DE SES CAUSES
1.5 LES DIFFICULTÉS RELIÉES AUX MATHÉMATIQUES DU COLLÉGIAL : DES LACUNES OU PRÉREQUIS EN QUESTION
1.6 PROBLÈME DE RECHERCHE : AU-DELÀ DU CONSTAT D’ÉCHEC ET DES DIFFICULTÉS DES MATHÉMATIQUES DU COLLÉGIAL; CONSIDÉRER LES PRATIQUES EFFECTIVES DES ENSEIGNANTS DU COLLÉGIAL
1.7 OBJECTIFS ET QUESTIONS DE RECHERCHE
CHAPITRE 2 CADRE THÉORIQUE 
2.1 INTRODUCTION
2.2 LES NOTIONS MATHÉMATIQUES DU COURS NYB ET QUELQUES DIFFICULTÉS ASSOCIÉES
2.2.1 LE CONTENU DU COURS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL
2.2.2 COMPLEXITÉ DES NOTIONS MATHÉMATIQUES DU COURS NYB
2.2.2.1 LA DIMENSION 2 : LE STATUT DES NOTIONS À ENSEIGNER QUANT À LEUR INSERTION DANS LE PAYSAGE MATHÉMATIQUE DES ÉTUDIANTS
2.2.2.2 LA DIMENSION 4 : LES NIVEAUX DE MISES EN FONCTIONNEMENT DES CONNAISSANCES PAR LES ÉLÈVES
2.2.3 PRATIQUES ATTENDUES ET DIFFICULTÉS POUR LES ÉTUDIANTS DES MATHÉMATIQUES EXPERTES
2.2.3.1 PLUSIEURS DIFFICULTÉS DE L’ORDRE DE LA NATURE DES DÉMONSTRATIONS ATTENDUES DES ÉTUDIANTS
2.2.3.2 L’ORGANISATION DES CONNAISSANCES ATTENDUE DES ÉTUDIANTS
2.2.3.3 LE TRAVAIL PERSONNEL À LA MAISON
2.3 APPROCHES D’ANALYSE DE PRATIQUES ENSEIGNANTES
2.3.1 PREMIÈRE APPROCHE : L’ACTIVITÉ DE L’ENSEIGNANT « TOURNÉE VERS SES ÉTUDIANTS »
2.3.1.1 LES CONCEPTS DE CHAMP MATHÉMATIQUE D’UNE SÉQUENCE ET DE STRATÉGIE D’ENSEIGNEMENT
2.3.1.2 LE CONCEPT DE TÂCHE
2.3.1.3 LA NOTION DE DISCOURS
2.3.1.4 LE CONCEPT D’INCIDENTS
2.3.1.5 L’UTILISATION DU TABLEAU
2.3.2 DEUXIÈME APPROCHE : L’ACTIVITÉ DU PROFESSEUR « TOURNÉE VERS SOI »
CHAPITRE 3 LA MÉTHODOLOGIE 
3.1 INTRODUCTION 3.2 DE LA COLLECTE À L’ANALYSE DES DONNÉES
3.2.1 LA COLLECTE DE DONNÉE
3.2.2 LE TRAITEMENT DES DONNÉES
3.2.2.1 LES TÂCHES
3.2.2.2 LA PRATIQUE EFFECTIVE
3.3 ANALYSE A PRIORI : ANALYSE DE LA TÂCHE
3.3.1 LES TECHNIQUES D’INTÉGRATION
3.3.2 LES TÂCHES DEMANDÉES
3.3.3 EXEMPLES D’ANALYSE A PRIORI
3.4 ANALYSE DE LA PRATIQUE ENSEIGNANTE
3.4.1 L’ANALYSE DU DISCOURS
3.4.2 ANALYSE DES TÂCHES DEMANDÉES
3.4.3 ANALYSE DE LA GESTION DES INCIDENTS
3.4.4 EXEMPLE DE TABLEAU POUR L’ANALYSE DU DISCOURS, DES TÂCHES ET DES INCIDENTS
3.4.5 ANALYSE DE L’ACTIVITÉ AU TABLEAU
3.4.5 ANALYSE DU TRAITEMENT DES DIFFICULTÉS
3.4.6 ANALYSE ERGONOMIQUE
CHAPITRE 4 ANALYSE A PRIORI DES TÂCHES PROPOSÉES 
4.1 INTRODUCTION
4.2 L’INTÉGRATION PAR MANIPULATION ALGÉBRIQUE
4.2.1 PRÉSENTATION DE LA NOTION
4.2.2 PROBLÈMES TYPIQUES
4.2.3 LES EXEMPLES PRÉSENTÉS EN CLASSE
4.2.4 LES EXERCICES
4.2.5 LES EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES
4.3 L’INTÉGRATION PAR PARTIE
4.3.1 PRÉSENTATION DE LA NOTION
4.3.2 PROBLÈMES TYPIQUES
4.3.3 LES EXEMPLES PRÉSENTÉS EN CLASSE
4.3.4 LES EXERCICES
4.3.4 LES EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES
4.4 L’INTÉGRATION DES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
4.4.1 PRÉSENTATION DE LA NOTION
4.4.2 PROBLÈMES TYPIQUES
4.4.3 LES EXEMPLES PRÉSENTÉS EN CLASSE
4.4.4 LES EXERCICES
4.4.4 LES EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES
4.5 L’INTÉGRATION PAR SUBSTITUTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
4.5.1 PRÉSENTATION DE LA NOTION
4.5.2 PROBLÈMES TYPIQUES
4.5.3 LES EXEMPLES PRÉSENTÉS EN CLASSE
4.5.4 LES EXERCICES
4.6 L’INTÉGRATION PAR LA MÉTHODE DES FRACTIONS PARTIELLES
4.6.1 PRÉSENTATION DE LA NOTION
4.6.2 PROBLÈMES TYPIQUES
4.6.3 LES EXEMPLES PRÉSENTÉS EN CLASSE
4.6.4 LES EXERCICES
4.7 ANALYSE DE L’EXAMEN
4.7.1 DESCRIPTION
4.7.2 LES DIFFICULTÉS
4.8 DIFFICULTÉS RÉPERTORIÉES SELON LA TECHNIQUE D’INTÉGRATION
CHAPITRE 5 L’ANALYSE A POSTERIORI DES OBSERVATIONS FAITES EN CLASSE
5.1 INTRODUCTION
5.2 CHRONOLOGIE DES SÉANCES
5.3.1 BUTS ET FONCTIONS DU DISCOURS
5.3.2 LES TÂCHES DEMANDÉES PAR L’ENSEIGNANT
5.3.3 GESTION DES INCIDENTS
5.4 UTILISATION DU TABLEAU
5.4.1 LE TABLEAU INTERACTIF
5.4.2 LE TABLEAU BLANC
5.5 TRAITEMENT DES DIFFICULTÉS
5.5.1 CHANGEMENT DE POINT DE VUE À INTRODUIRE (SANS INDICATION)
5.5.2 NOUVEAUX TYPES DE PROBLÈMES
5.5.3 PLURALITÉ DES ARGUMENTS NÉCESSAIRES À UNE DÉMONSTRATION
5.5.4 RÉPÉTITION DES ARGUMENTS
5.5.5 MISES EN RELATION OU PRISE EN COMPTE SIMULTANÉE DE PLUSIEURS ASPECTS D’UN ÉNONCÉ
5.5.6 SÉLECTION D’INFORMATIONS
5.5.7 TOUTES LES MÉTHODES NE SONT PLUS ÉQUIVALENTES, LA RAPIDITÉ DEVIENT UN FACTEUR DE RÉUSSITE
5.5.8 STRATÉGIES UTILISÉES SELON LA DIFFICULTÉ
5.6 PISTE ERGONOMIQUE
5.6.1 PRINCIPES DE DÉLIMITATION DU CHAMP MATHÉMATIQUE
5.6.2 PRINCIPES POUR ÉLABORER UNE STRATÉGIE D’ENSEIGNEMENT
5.6.3 Principe de conformité au programme officiel
CONCLUSION 
RÉFÉRENCES 
ANNEXE 1 OUTILS D’ENTREVUE 
ANNEXE 2 OUTILS D’ANALYSE DE LA TECHNIQUE D’INTÉGRATION 
ANNEXE 3 OUTILS D’ANALYSE DE L’ANALYSE DU TABLEAU 
ANNEXE 4 APPROBATION ÉTHIQUE 

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