Analyse de Fredholm des opérateurs quotients

Concept général des opérateurs quotients

Le présent chapitre est une introduction à la notion du quotient de deux opérateurs bornés définis sur un espace de Hilbert H. On s’intéresse essentiellement à rappeler quelques définitions et propriétés de base des opérateurs quotients, notamment les notions de la bornitude, compacité des opérateurs quotient, l’expression du quotient à l’aide de l’inverse généralisé, les propriétés de normalité, les itérés du quotient et la stabilité du caractère quotient par rapport au passage à la limite. À la fin du chapitre on donne une application de la décomposition de Jorgensen pour les opérateurs quotients.

Bornitude de B/A

Dans ce paragraphe, on cherche des conditions pour lesquelles quotient de deux opérateurs bornés est borné. Vu que le quotient B/A est la solution de l’équation B=XA, il sera donc utile d’établir un lien entre la notion de la solution de Douglas d’une équation de type B = AX (quand elle existe) et celle d’un opérateur quotient B/A afin d’expliciter quelques critères de bornitude de ce dernier.

Somme et produit des opérateurs quotients

On définit dans ce qui suit la somme et le produit de deux opérateurs quotients et on va établir que ces opérations préservent le caractère quotient. Étant donnés deux opérateurs quotients B/A et D/C tels que N(A) N(B) et N(C) N(D). Alors

L’adjoint de B/A

Rappelons que pour définir l’adjoint d’un opérateur non borné il faut qu’il soit de domaine dense. De ce fait, on va supposer que R(A) est dense dans H.

Concept général des opérateurs quotients

Dans ce qui suit, on va voir que cette notion préserve le caractère quotient, autrement dit, l’adjoint d’un opérateur quotient est aussi un opérateur quotient. Pour cela, on définit l’adjoint de B/A.

Autour du théorème de Kaufman

L’objet de ce chapitre sera le théorème de Kaufman, ce théorème joue un rôle très puissant dans la théorie des opérateurs linéaires non bornés, il permet d’exprimer en quotient tout opérateur fermé de domaine dense dans H à l’aide d’une contraction pure, en utilisant une fonction particulière notée ?P qu’on définit ultérieurement à l’aide d’un opérateur P borné positif inversible. On montre aussi que cette fonction préserve beaucoup de propriétés algébriques et topologiques telles que l’inversibilité, l’adjonction, la normalité… etc. On donne par la suite une extension de la définition de cette fonction pour les matrices d’opérateurs triangulaires supérieures d’ordre 2.

Caractère semi-fermé d’un opérateur quotient

Dans cette section on établit le rapport entre un opérateur quotient et un opérateur semi-fermé. Le théorème suivant due à Kaufman [28] montre qu’un opérateur linéaire est semi-fermé si et seulement si il admet une représentation en quotient de deux opérateurs linéaires bornés.

Théorème de Kaufman

Le résultat précédent de Kaufman montre l’existence d’une représentation en quotient d’un opérateur semi-fermé et précise la semi-fermabilité des opérateurs quotients. Dans ce qui suit on s’intéresse à la représentation en quotient d’un opérateur fermé densément défini sur H. Il est à noter que récemment, Koliha a prouvé que l’opérateur T = BA−1 où A est la solution de l’équation de Riccati I − BB = XPX est fermé de domaine R(A) dense dans H, et il a indiqué qu’un opérateur fermé de domaine dense dans H admet une représentation unique en quotient de deux opérateurs bornés à l’aide d’une contraction pure. Cette situation repose sur le théorème de Kaufman généralisé.

Normalité

On dégage dans ce paragraphe quelques propriétés de normalité d’un opérateur T fermé de domaine dense dans H défini par T = ?P (B) sachant que B est une contraction pure dans V(H). Ceci se traduit, en s’appuyant sur le lemme de Douglas et sur le théorème 2.1.12, de la manière suivante :

Caractère EP

Étant donné un opérateur borné S 2 B(H), on dit que S est un opérateur EP, si R(S) est fermée et SS† = S†S où S† est l’inverse généralisé de Moore-Penrose de S. La classe des opérateurs normaux à images fermées est inclue dans la classe des opérateurs EP. Il n’y a pas de relation d’inclusion entre la classe des opérateurs hyponormaux et celle des opérateurs EP.

On voit qu’un opérateur B à image fermée est EP si et seulement si R(B) = R(B). Récemment, Djordjevic a obtenu dans [11] quelques résultats de caractérisation d’un opérateur EP sur un espace de Hilbert quelconque. Á l’aide des propriétés des opérateurs quotients on peut obtenir une extension de certains résultats de [11] sur les opérateurs non bornés. Ces caractérisation sont obtenues d’après les résultat établis sur l’inverse généralisé de Moore-Penrose d’un opérateur quotient ?P (B) où B est une contraction pure. Le théorème suivant caractérise l’inverse généralisé de Moore-Penrose de ?P (B).

Analyse de Fredholm des opérateurs quotients

Ce chapitre est consacré à l’étude du caractère de Fredholm des opérateurs quotients ; on donne au départ une condition nécessaire et suffisante pour que le quotient B/A de deux opérateurs bornés A et B soit de Fredholm et on calcul l’indice du quotient, puis, on donne d’une manière explicite la caractérisation d’un quotient de Weyl. Dans la deuxième partie de ce chapitre, on s’intéresse au caractère de Fredholm d’un opérateur T fermé de domaine D(T) dense dans H défini à l’aide de la fonction ?P par T = ?P (B) où B est une contraction pure et P un opérateur borné positif inversible sur H. On montre que la fonction ?P préserve le caractère Fredholm et que ind?P (B) =indB. La troisième partie est réservée à l’analyse de Fredholm de ?PMC où MC est une matrice d’opérateurs triangulaire supérieure d’ordre 2.

Analyse spectrale des opérateurs quotients

Ce chapitre est une première tentative à la caractérisation du spectre d’un opérateur quotient en utilisant les propriétés spectrales de base d’opérateurs conjoints.On rappelle en premier lieu quelques résultats du spectre d’un opérateur conjoint, puis on essaye de les utiliser pour définir le spectre d’un opérateur quotient. On donne par la suite une première formulation du calcul fonctionnel holomorphe des opérateurs quotients en s’appuyant sur les opérateurs conjoints.

Spectre d’opérateur conjoint

Si H est espace de Hilbert de dimension finie n. Alors un problème aux valeurs propres généralisé consiste à trouver un vecteur v non nul vérifiant Av = Bv avec A, B sont deux matrices carrées d’ordre n et un scalaire dit la valeur propre généralisée de A et B associée au vecteur propre généralisé v.

En dimension infinie, si A et B sont deux opérateurs bornés sur H, le problème devient de plus en plus compliqué, il s’agit d’un spectre d’opérateurs conjoints. Pour tout couple (B,A) d’opérateurs bornés sur H, on désigne par opérateur conjoint, l’opérateur (B − A) où 2 C.

Table des matières

Introduction
1 Préliminaires
1.1 Domaine, graphe et fermeture
1.1.1 Opérateurs fermés
1.1.2 Opérateurs fermables
1.1.3 Opérateurs semi-fermés
1.1.4 Opérateurs symétriques et auto-adjoints
1.1.5 Opérateurs normaux, hyponormaux et quasi-normaux
1.1.6 Positivité et décomposition polaire
1.2 Lemme de Douglas
1.3 Opérateurs à images fermées
1.3.1 Opérateurs compacts
1.4 Opérateurs de Fredholm
1.5 Résolvante et spectre
1.5.1 Calcul fonctionnel holomorphe
2 Concept général des opérateurs quotients
2.1 Quotient de deux opérateurs bornés
2.1.1 Notations et définitions
2.1.2 Bornitude de B/A
2.1.3 Compacité de B/A
2.1.4 Somme et produit des opérateurs quotients
2.1.5 Inversibilité de B/A
2.1.6 Fermeture de B/A
2.1.7 L’adjoint de B/A
2.1.8 Itérés de B/A
2.1.9 Décomposition J des opérateurs quotients
3 Autour du théorème de Kaufman 
3.1 Caractère semi-fermé d’un opérateur quotient
3.2 Théorème de Kaufman
3.2.1 Représentation en quotient d’une contraction pure
3.2.2 Le théorème du Kaufman généralisé
3.3 Quelques propriétés de la fonction ?P
3.3.1 Adjoint de ?P
3.3.2 Normalité
3.3.3 Inverse généralisé de Moore-Penrose de ?P (B)
3.3.4 Caractère EP
3.4 Extension aux opérateurs matriciels
4 Analyse de Fredholm des opérateurs quotients
4.1 Caractère de Fredholm du quotient
4.2 Analyse de Fredholm d’un opérateur fermé de domaine dense via
4.3 Application à une matrice d’opérateurs triangulaire supérieure d’ordre
5 Analyse spectrale des opérateurs quotients
5.1 Spectre d’opérateur conjoint
5.2 Application aux opérateurs quotients
5.3 Introduction au calcul fonctionnel
Bibliographie

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