Algèbre de Calkin

Algèbre de Calkin

Opérateurs quasi-compacts

Soit X un espace de Banach et T un opérateur linéaire continu de X dans X. L’opérateur T sera dit quasi-compact si à partir d’une certaine puissance, il est assez proche d’un opérateur compact, autrement dit si à partir d’une certaine puissance n0 , l’opérateur T n0 est à une distance strictement inferieure à 1 de l’idéal K(X). Le caractère de quasi-compacité implique également certaines propriétés sur le spectre de l’opérateur que nous allons détailler dans ce chapitre. 3.1 Définitions et propriétés Cette première définition a été donnée par Yosida (1939) il les a appelé opérateurs quasicomplètement continue [48]. Définition 3.1 Un opérateur T ∈ L(X) est dit quasi-compact s’il existe un entier m et un compact K 6= 0 tels que kT m − Kk < 1. Cette définition est équivalente à la suivante : il existe une suite (Kn)n∈N d’opérateurs compacts sur X telle que limn→∞ kT n − Knk = 0. Il est évident que tout opérateur compact est quasi-compact. On note l’ensemble des opérateurs quasi-compacts par QK (X). Dans ce qui suit on montre l’équivalence des définitions de la quasi-compacité connues dans la littérature mathématique. Une autre définition de la quasi-compacité est donnée par H. Hennion et L. Hervé dans [20], utilisant les sous-espaces invariants et quelques propriétés spectrales. Définition 3.2 Un opérateur T ∈ L(X) est dit quasi-compact si X peut être décomposé en deux sous-espaces fermés T−invariants, X = N ⊕ M où r T|M  < r (T), dim N < +∞ et toute valeur propre de T|N est de module r (T) Un opérateur T ∈ L(X) est dit à puissance compacte s’il existe un entier n tel que T n est compact sur X. Il est évident que si T est un opérateur à puissance compact alors Test quasi-compact. D’après les propriétés du spectre σ (T n ) = (σ (T))n et puisque T n est compact σ (T n ) est soit fini soit infini dénombrable ayant 0 comme unique point d’accumulation, donc σ (T) est aussi fini ou infini dénombrable ayant 0 comme unique point d’accumulation. T n étant compact, si λ0 6= 0, λ0 ∈ σ (T n ) est un pôle de R (λ, T n ) alors λ0 est aussi pôle de R (λ, T) et donc valeur propre de T (voir [49]). Ce résultat nous permet d’étendre toute la théorie de Riesz-Schauder aux opérateurs à puissance compacte. Cette extension est d’une grande importance dans les applications par exemple dans l’étude du problème Dirichlet. Remarque 3.3 Les opérateurs de Riesz sont quasi-compacts, par conséquent les opérateurs quasi-nilpotents et les opérateurs nilpotents sont à fortiori quasi-compacts

Théorème de Schauder

Le théorème de Riesz-Schauder caractérise l’opérateur compact par son adjoint est d’une grande importance dans la théorie des opérateurs compacts et la théorie de Fredholm. Il est naturel de chercher à montrer le même résultat pour les opérateurs quasi-compacts. Nous fournissons une preuve simple de ce théorème pour les opérateurs quasi-compacts mais dans le cas des espaces de Banach réflexifs. Théorème 3.2 Soit X un espace de Banach réflexif et T ∈ L(X). Alors, T est quasicompact dans X si et seulement si son adjoint T ∗ est quasi-compact dans X∗ . Preuve. La preuve est une conséquence directe de la réflexivité de l’espace X et du théorème de Riesz-Schauder classique sur les opérateurs compacts. Si T est quasi-compact, il existe un entier m et un opérateur compact K tel que kT m − Kk < 1. Comme K∗ l’adjoint de K est aussi compact et (T m − K) ∗ = ((T ∗ ) m − K∗ ), on a alors k(T ∗ ) m − K∗k = kT m − Kk ce qui donne la quasi-compacité de T ∗ . Reciproquement, si T ∗ ∈ L(X∗ ) est quasi-compact, de la première étape (T ∗ ) ∗ est quasicompact et puisque T ∗∗ =T on déduit la quasi-compacité de T. 3.3.1 Chaines de Markov On donne quelques définitions et propriétés sur les chaines et les opérateurs de Markov qui nous serons utiles par la suite. Définition 3.4 Soit E un ensemble dénombrable ( qui peut être fini ), dit espace des états. Soit (Ω, E, P) un espace de probabilité. Une suite (Xn, n ∈ N) de variables aléatoires de (Ω, E, P) dans (E,P (E)) est une chaine de Markov sur E lorsque pour tout n ∈ N la loi de Xn+1 sachant X0, …, Xn est la même que la loi de Xn+1 sachant Xn, i.e : P (Xn+1 = xn+1\X0 = x0, …, Xn = xn) = P (Xn+1 = xn+1\Xn = xn), ∀x0, …, xn+1 ∈ E. Cette définition signifie que la loi du futur ne dépend que du présent, et non du passé. 25 Exemple 3.4 Une particule se déplace sur un réseau. A chaque noeud de ce réseau, elle choisit au hasard un chemin parmi ceux qui se présente à elle, c’est une marche aléatoire. Considérons la marche aléatoire de la particule sur un tétraèdre ABCD. Quand la particule arrive à un sommet, elle ne peut pas y rester. Elle a le choix entre 3 arêtes (autrement dit, elle peut se diriger vers l’un des 3 autres sommets). Elle en choisit une au hasard ( avec la probabilité 1 3 ). On code les sommets 1 pour A, 2 pour B, 3 pour C et 4 pour D. Soient S = {1, 2, 3, 4}, {Xn, n ∈ S} on a : La probabilité Pij = P(Xn+1 = j \ Xn = i) pour i, j ∈ S, probabilité conditionnelle que le système se retrouve dans l’état j à l’étape suivante sachant qu’il se trouve actuellement dans l’état i. Pij = 1 3 si i 6= j et Pij = 0 si i = j.

Table des matières

Introduction
1 Théorie de Fredholm et perturbations
1.1 Alternative de Fredholm .
1.2 Théorie de Fredholm .
1.3 Théorie des perturbations .
1.4 Ascente et descente
2 Algèbre de Calkin
2.1 Théorème d’Atkinson .
2.2 Spectres essentiels
2.3 Opérateurs de Riesz
3 Opérateurs quasi-compacts
3.1 Définitions et propriétés .
3.2 Exemples et comparaisons .
3.2.1 Opérateurs à puissance compacte .
3.2.2 Quelques exemples
3.3 Théorème de Schauder
3.3.1 Chaines de Markov
3.4 Quasi-compacité et théorie de Fredholm
3.4.1 Caractère Fredholm et perturbations quasi-compactes
3.4.2 Invariance du spectre de Weyl
3.4.3 Sous-espaces invariants
4 Opérateurs polynomialement compacts et faiblement compacts
4.1 Opérateurs polynomialement compacts
4.2 Opérateurs faiblement compacts
5 Applications
5.1 Opérateurs de Transport
5.2 Modèles probabilistes autorégressifs fonctionnels
Bibliographie

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