Acquisition d’un milieu le long d’un chemin en temps discret 

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Notations et d´efinitions

Processus d’acquisition

Dans [10] et [12], Baehr introduit de nouveaux outils pour d´ecrire l’observation d’un champ. Il pr´esente les notions de syst`eme et de processus d’acquisition d’un champ de vecteurs al´eatoire. Avant de les appliquer aux observations de vent par un lidar, nous rappelons les d´efinitions dans le cas g´en´eral.
D´efinition 1.1 (Syst`eme d’acquisition).
Soit E ⊂ Rd, d ∈ N∗, un espace m´etrique localement compact muni de la tribu E. E est appel´ espace physique. Soit E0 ⊂ Rd0, d0 ∈ N∗, un espace vectoriel muni de la tribu E 0. On appellera E0 espace des phases. On se donne ´egalement un espace de probabilit´e filtr´e complet (Ω, F, (Ft)t≥0, P).
Soit T < ∞ un r´eel. Soit x ∈ E un point de l’espace physique. Soit Xt la famille de variables al´eatoires sur (Ω, F, Ft) `a valeurs dans (E, E) index´ee par le temps t ∈ [0, T ], et soit Xt,x0 la famille de variables al´eatoires sur (Ω, F, Ft) `a valeurs dans (E0, E0) index´ee par le temps t ∈ [0, T ] et le point x ∈ E.
Le couple d’applications Ft-mesurables (Xt, Xt,x0) est appel´ syst`eme d’acquisition du champ de vecteurs al´eatoire Xt0.
Le processus Xt est appel´ trajectoire d’acquisition et la famille Xt,x0 est le champ d’acquisition. C’est le couplage entre Xt et Xt,x0 qui donne du sens au syst`eme d’acquisition. L’id´ee est de relever au cours du temps les valeurs du champ Xt,x0 le long de la trajectoire Xt. Ce relev´ est appel´ processus d’acquisition.
D´efinition 1.2 (Processus d’acquisition).
Soit (Xt, Xt,x0) un syst`eme d’acquisition sur l’espace de probabilit´e (Ω, F, (Ft)t≥0, P) `a valeurs dans (E, E) × (E0, E0) . On d´efinit pour tout temps t ∈ [0, T ] le processus d’acquisition At sur (Ω, F, Ft) `a valeurs dans (E0, E0) par At = Xt,X0t
Pour illustrer la d´efinition du processus d’acquisition, on peut se placer en un point fixe X de E. On prend comme chemin d’acquisition le processus stationnaire Xt = X pour tout temps t. Dans ce cas le syst`eme d’acquisition est (X, Xt,x0) et le processus d’acquisition At = Xt,X0 est un processus d’acquisition eul´erien.
Les processus d’acquisition permettent de relever la valeur d’un champ en un point `a chaque instant. La connaissance spatiale du champ ainsi obtenue est donc limit´ee. A partir de ces informations locales, il n’est pas possible de reconstituer l’ensemble du champ. Cependant, suivant les propri´et´es du champ, le relev´ en un point peut ˆetre repr´esentatif d’un partie plus vaste. Si le champ est localement homog`ene en loi, l’acquisition du champ en un point apporte une information sur la loi du milieu autour de ce point. Le qualificatif ”en loi” permet de distinguer l’homog´en´eit´ au sens des probabilit´es de l’homog´en´eit´ au sens physique. Pour un milieu localement homog`ene en loi, Baehr introduit les processus d’acquisition localement homog`enes : D´efinition 1.3 (Processus d’acquisition localement homog`ene).
Pour tout temps t ∈ [0, T ], soit (Xt, Xt,x0) un syst`eme d’acquisition sur l’espace produit (E × E0) et At = Xt,X0t le processus d’acquisition de ce syst`eme. On dira que le syst`eme d’acquisition est localement homog`ene en loi si :
— E est un espace localement convexe m´etrisable poss´edant un recouvrement convexe A = Si∈I Ai, I ´etant un ensemble d’indices.
— ∀t ∈ [0, T ] et ∀x ∈ E, il existe εt > 0 et i ∈ I tels que B(x, εt) ⊂ Ai avec B(x, εt) = {z ∈ E, |x − z| 6 εt} et ∀y ∈ B(x, εt) = Btε on a pour tout a ∈ E0, P(At ∈ da | Xt = x) = P(At ∈ da | Xt = y)
Pour l’acquisition At associ´ee a` ce syst`eme on appellera cette probabilit´e la loi de At sachant que Xt appartient a` la boule Btε, not´ee Loi(At | Xt ∈ Btε).
La notion de milieu localement homog`ene est importante, car c’est une hypoth`ese n´ecessaire pour que la reconstruction de milieu ait un sens. Nous verrons comment cette hypoth`ese est utilis´ee dans le chapitre 2 qui expose notre m´ethode de recons-truction de l’atmosph`ere.

Processus d’acquisition le long d’un chemin

Baehr a d´efini les processus d’acquisition de mani`ere ponctuelle. A chaque ins-tant, on rel`eve la valeur du champ en un point. Ces d´efinitions peuvent naturellement s’´etendre `a chemin, al´eatoire ou non. Comme nous l’avons d´ej`a evoqu´e, dans notre travail les observations sont donn´ees par un lidar. Elles sont donc r´eparties le long du chemin d’observation al´eatoire. Nous allons maintenant pr´esenter l’extension des processus d’acquisition ponctuels aux processus d’acquisition le long d’un chemin.
D´efinition 1.4 (Syst`eme d’acquisition le long d’un chemin).
Soit E ⊂ Rd, d ∈ N∗, un espace m´etrique localement compact muni de la tribu E. E est appel´ espace physique. Soit E0 ⊂ Rd0, d0 ∈ N∗, un espace vectoriel muni de la tribu E0. On appellera E0 espace des phases. On introduit (E) = C0([0, 1], E) l’espace des chemins injectifs dans E, muni de la tribu E , et (E 0) = C0([0, 1], E0) l’espace des chemins injectifs dans E0 muni de la tribu E0 . On se donne un espace de probabilit´e filtr´e complet (Ω, F, (Ft)t≥0, P).
Soit T < ∞ un r´eel, et soit ζ ∈ (E) un chemin dans l’espace physique. Soit γt la famille de variables al´eatoires sur (Ω, F, Ft) `a valeurs dans ( (E), E ) index´ee par le temps t ∈ [0, T ], et soit Xt,ζ0 la famille de variables al´eatoires sur (Ω, F, Ft) `a valeurs dans ( (E0), E0 ) index´ee par le temps t ∈ [0, T ] et le chemin ζ ∈ (E).
Le couple d’applications Ft-mesurables (γt, Xt,ζ0) est appel´ syst`eme d’acquisition le long d’un chemin al´eatoire du champ de vecteurs al´eatoire Xt0.
Le processus γt est appel´ trajectoire du chemin d’acquisition et la famille Xt,ζ0 est le champ d’acquisition.
De mˆeme, on g´en´eralise la notion de processus d’acquisition le long d’un chemin.
D´efinition 1.5 (Processus d’acquisition le long d’un chemin).
Soit (γt, Xt,ζ0) un syst`eme d’acquisition le long d’un chemin sur l’espace de pro-babilit´e (Ω, F, (Ft)t≥0, P) a` valeurs dans ( (E), E ) × ( (E0), E0 ) . On d´efinit pour tout temps t ∈ [0, T ] le processus d’acquisition le long d’un chemin At sur (Ω, F, Ft) a` valeurs dans ( (E0), E0 ) par At = Xt,γ0t.

Acquisition d’un milieu le long d’un chemin en temps discret

A partir de cette section, nous allons ´etudier les processus d’acquisition en temps discret, et plus pr´ecis´ement, les processus d’acquisition localement homog`enes le long d’un chemin en temps discret. Nous allons suivre la d´emarche propos´ee par Baehr qui est d´etaill´ee dans [12]. Pour estimer l’esp´erance du processus d’acquisition connaissant le chemin d’acquisition, il utilise un algorithme s´equentiel. Comme nous le verrons par la suite, l’algorithme d´ebute par une ´etape d’´evolution a priori du milieu suivie d’une ´etape de conditionnement du processus d’acquisition au chemin d’acquisition not´e Zk.
L’algorithme propos´e par Baehr couple deux syst`emes d’acquisitions. Le premier syst`eme permet d’obtenir une acquisition lagrangienne du champ le long d’un chemin γk. Le chemin d’acquisition γk est donc transport´e par le flot. On note le syst`eme lagrangien (γk, Xk0). Le second syst`eme est le syst`eme d’acquisition le long du chemin Zk dont la trajectoire est ind´ependante du flot. On note ce syst`eme (Zk, Ak).
On suppose que le couple (γk, Xk0) est markovien. Son ´evolution est alors d´ecrite par le noyau de transition `a champ moyen :
Mk+1,ηk ((x, x0), d(z, z0)) = P((γk+1, Xk0+1) ∈ d(z, z0)|(γk, Xk0 = (x, x0)) o`u ηk est la loi de probabilit´e de (γk, Xk0). Dans l’algorithme de reconstruction de l’atmosph`ere, nous retrouverons ce noyau de transition `a l’´etape de pr´ediction. Nous verrons alors que la propri´et´ de champ moyen est utilis´ee dans le mod`ele d’´evolution local.
Nous pouvons ´egalement introduire deux mesures de probabilit´e χk et χˆk d´efinies par :
χˆk(f) = E(f(γk, Ak) | γ0 ∈ B0ε(Z0), …, γk ∈ Bkε(Zk))
χk(f) = E(f(γk, Ak) | γ0 ∈ B0ε(Z0), …, γk ∈ Bkε−1(Zk−1))
o`u Bkε(Zk) = {γ ∈ (E), ||γ − Zk||T V 6 εk}.
En s’inspirant du calcul 1.1, on obtient les expressions suivantes pour χˆk et χk : χˆk(f) = E(f(γk, Ak) p=0 1Bpε (Zp)(γp)) k Q E( p=0 Bp(Zp)( p)) χk(f) = k p=0 1Bp (Zp)( p)) E(f(γk,Q k) 1 ε γ A γ k−1 εQ E(Qp=0 Bp(Zp)( p))
La structure des termes de droite conf`ere aux deux mesures la forme de distri-bution de Feynman-Kac, telle que d´efinie dans [38], ayant pour potentiel Gp(γp) = 1Bpε(Zp)(γp).
On peut ´etendre la d´efinition du potentiel de la boule Bpε(Zp) au potentiel du cylindre Bpε(Zp) × (E0) et d´efinir le potentiel pour le couple (γp, Xp0) : Gp(γp, Xp0) = 1Bpε(Zp)× (E0)(γp, Xp0)

La g´eom´etrie du WindCube

La reconstruction du vent et l’estimation des param`etres turbulents n´ecessitent des observations de vent de bonne qualit´e et disponibles a` haute fr´equence (de l’ordre de quelques hertz). Nous utilisons ici des observations provenant d’un lidar Doppler WindCube. Le WindCube est un lidar h´et´erodyne muni de cinq axes de vis´ee : un vertical et quatre obliques, inclin´es de 28°par rapport a` l’axe vertical. La figure 2.1 illustre la g´eom´etrie du WindCube. Les r´ecentes am´eliorations apport´ees au WindCube par LEOSPHERE ont permis d’obtenir un instrument relativement petit et facile `a d´eplacer. Le WindCube V2 occupe une surface au sol de 1m2 pour un poids de de 45kg. La port´ee du WindCube est de 200m. Sur chacun des axes de vis´ee, le lidar mesure le vent en 10 points espac´es de 20m. Les mesures sont effectu´ees axe apr`es axe, et une r´evolution compl`ete du lidar dure environ 4 secondes. Grˆace a` ses caract´eristiques, le WindCube fournit des observations du vent dans le bas de la couche limite atmosph´erique avec une r´epartition dans l’espace et une fr´equence suffisantes pour observer les ph´enom`enes turbulents de petite taille. La vitesse mesur´ee par effet Doppler correspond donc a` la vitesse du vent projet´ sur l’axe de vis´ee du lidar. La vitesse ainsi mesur´ee est couramment appel´ee vitesse radiale. Pour reconstruire le vent en trois dimensions, trois observations suivant des axes diff´erents sont n´ecessaires. Des travaux pr´ec´edents ont compar´e la mesure de vent r´ealis´ee en utilisant trois lidars se croisant en un point a` celle r´ealis´ee par un an´emom`etre sonique plac´e a` proximit´e [90]. Ces travaux ont compar´e la mesure vo-lumique du lidar `a la mesure ponctuelle de l’an´emom`etre et d´emontr´ la faisabilit´e de la mesure de la turbulence 3D avec des lidars. Nous avons opt´e pour une configu-ration diff´erente : les lidars ne se croisent pas mais couvrent un volume conique. A la place des trois observations co-localis´ees, nous utilisons trois observations situ´ees a` la mˆeme altitude. Par exemple, dans le chapitre 4 nous prenons deux observations obliques cons´ecutives et l’observation sur l’axe vertical. Le choix des observations induit une hypoth`ese sur le milieu observ´ : pour reconstruire l’atmosph`ere, nous supposons que l’´ecoulement atmosph´erique est homog`ene entre les trois observations utilis´ees durant une r´evolution compl`ete (4 secondes pour le WindCube). C’est l’hy-poth`ese d’atmosph`ere localement homog`ene.
Le volume observ´ est d´ecoup´ en boˆıtes. Chaque boˆıte contient les observa-tions de vent radial n´ecessaires `a la reconstruction de l’atmosph`ere turbulente. L’at-mosph`ere `a l’int´erieur des boˆıtes est donc suppos´ee homog`ene. Nous verrons que cette partition du volume observ´ est utilis´ee dans l’impl´ementation de l’algorithme de reconstruction.

Filtrage non-lin´eaire

Petit historique

Depuis les premiers travaux de Kalman en 1960 [71], le filtre de Kalman a et´ d´evelopp´ et adapt´e a` des applications vari´ees. Le filtre de Kalman (KF) classique est l’estimateur optimal lorsque le processus etudi´ est lin´eaire et gaussien. Il a rapidement et´ ´etendu `a l’´etude de processus non-lin´eaires. Le filtre de Kalman ´etendu (EKF) utilise la lin´earisation du mod`ele d’´evolution du processus. Grˆace `a la lin´earisation, l’EKF ram`ene le probl`eme non-lin´eaire a` probl`eme lin´eaire qui peut donc ˆetre trait´e par le filtre de Kalman simple. La description de l’EKF et ses appli-cations sont d´ecrites dans [47], [58], [131]. L’utilisation de l’EKF pr´esente cependant deux difficult´es. Tout d’abord l’impl´ementation de ce filtre est d´elicate a` cause du processus de lin´earisation. De plus, quand le mod`ele d’´evolution est fortement non-lin´eaire, les estimations obtenues avec l’EKF ne sont pas fiables. Ces deux aspects ont conduit a` d´evelopper d’autres adaptations du filtre de Kalman qui ´evitent l’´etape de lin´earisation. La premi`ere id´ee a et´ d’utiliser un ensemble d´eterministe de points pour calculer les statistiques d’une variable al´eatoire qui ´evoluent suivant un mod`ele non-lin´eaire. De cette id´ee est n´e le filtre de Kalman ”Unscented Kalman Filter” (UKF) [70]. Une seconde adaptation, plutˆot inspir´ee des m´ethodes de Monte-Carlo a suivi : le filtre de Kalman d’ensemble (EnKF) [46]. Contrairement a` l’UKF, l’EnKF repose sur un ensemble de points choisis al´eatoirement [48]. Mˆeme si ce filtre est un outil fr´equemment utilis´e en assimilation de donn´ees, ses faiblesses ont et´ etudi´ees et d´emontr´ees. Comme pour ses pr´ed´ecesseurs, les probl`emes apparaissent dans les cadres fortement non-lin´eaires. Les ´etudes de convergence ont montr´e que l’EnKF ne converge pas vers la mˆeme limite que les filtres bayesiens usuels lorsque la dyna-mique du processus est fortement non-lin´eaire [80]. Des alternatives a` l’UKF sont encore `a l’´etude, comme l’”Unscented/Ensemble transform Variational Filter” pour les probl`emes non-lin´eaires de grandes dimensions [81]. Le filtre de Kalman et ses diff´erentes adaptations sont donc des outils efficaces lorsque le mod´ele etudi´ est lin´eaire ou faiblement non-lin´eaire. Avec les mod´eles non-lin´eaires on arrive cepen-dant `a leur limite.
En parall`ele de ces travaux sur les filtres de Kalman, une toute autre sorte de filtres a et´ d´evelopp´ee sp´ecifiquement pour les probl`emes non-lin´eaires ou non-gaussiens. Ces filtres sont appel´es filtres a` particules (PF). Ils sont largement d´ecrits dans les travaux de Gordon [51], et de Del Moral [37]. Les PF sont aussi connus sous le nom de filtres de Monte-Carlo. L’innovation majeure apport´ee par ce type de filtre est d’approcher les densit´es de probabilit´e recherch´ees par un ensemble de leurs r´ealisations. Les densit´es de probabilit´e, qui d´ecrivent l’´etat du processus, sont souvent compliqu´ees voire inaccessibles. L’ensemble de r´ealisations utilis´e est appel´ ensemble de particules. Les particules ´evoluent avec le mod`ele du processus etudi´. Les statistiques de ce processus sont ensuite calcul´ees directement a` partir de l’ensemble de particules. Dans le cas o`u le processus est lin´eaire gaussien, les deux premiers moments suffisent `a le d´ecrire. Par contre pour un processus non-lin´eaire non-gaussien, il peut ˆetre n´ecessaire de connaˆıtre les moments d’ordres sup´erieurs. Ils sont calcul´es sans difficult´e en utilisant l’ensemble de particules. Pour les processus non-lin´eaires non-gaussiens, il a et´ d´emontr´ que les filtres `a particules sont les filtres les plus adaptat´es [31]. On peut cependant remarquer que contrairement au cas lin´eaire gaussien, il n’existe pas d’estimateur optimal pour les processus non-lin´eaires non-gaussiens.
Dans les travaux pr´esent´es ici, nous cherchons `a estimer l’´etat de l’atmosph`ere turbulente. Le processus etudi´ est le vent. Le mod`ele d’´evolution est par cons´equent particuli`erement non-lin´eaire [49]. Nous privil´egierons donc par la suite l’usage du filtre `a particules, malgr´e la popularit´e des filtres de Kalman.

Filtre `a particules

L’objectif des travaux sur la reconstruction de l’atmosph`ere est d’estimer en temps r´eel le vent et la turbulence atmosph´erique. La reconstruction est obtenue a` l’aide d’un filtre a` particules. La description compl`ete et la d´emonstration de la convergence du filtre a` particules sont donn´ees par Del Moral [37]. Nous rappelons ici le principe du filtrage particulaire ainsi que l’algorithme associ´e.
Dans le cas g´en´eral, lorsqu’on collecte un jeu de donn´ees, on cherche `a en ex-traire les caract´eristiques du signal observ´. Cependant, les observations sont souvent entˆach´ees d’erreurs dues, par exemple, aux imperfections de l’instrument de mesure. Le probl`eme classique consiste `a d´ebruiter ces observations. La question est donc d’estimer le signal r´eel a` partir des observations perturb´ees.
A chaque instant k, on note ξk le vecteur d’´etat du syst`eme et yk l’observation du syst`eme. La dimension du vecteur yk est parfois inf´erieure `a celle du vecteur d’´etat ξk. Dans ce cas, certaines composantes de ξk sont cach´ees pour l’observation. La question de l’observabilit´ du syst`eme doit alors ˆetre etudi´ee. L’´equation d’observation est donn´ee par : yk = H(ξk) + Wky
o`u H est l’op´erateur d’observation. Dans le cas de l’observation lidar, H est l’op´erateur de projection sur l’axe de vis´ee. En supposant que ξk est un processus de Markov et que le bruit d’observation est une variable al´eatoire, le probl`eme de filtrage se r´esume au calcul de la fonction de densit´ de probabilit´e (pdf) : p(ξ y ) = p(yk|ξk).p(ξk|y1:k−1)

Configuration de l’exp´erience

Dispositif d’observation

Pour cette exp´erience nous avons choisi comme dispositif d’observation un lidar WindCube : quatre tirs de lidar obliques et un vertical. Le lidar effectue un tour en quatre secondes et les tirs obliques sont inclin´es de α = 28 degr´es par rapport `a la verticale. Les tirs obliques sont effectu´es dans les directions Est, Nord, Ouest et Sud. Les observations sont r´eparties par niveau vertical. On note H=20m la hauteur s´eparant deux niveaux verticaux.
Dans cette exp´erience, nous disposons de 10 observations par tir lidar. A cause de la puissance de calcul limit´ee (li´ee `a l’utilisation de Scilab), nous nous sommes concentr´es sur 3 niveaux (60m, 80m et 100m). A ces altitudes nous disposons en plus d’observations d’an´emom`etres `a coupelles. Comme nous le verrons, la comparaison entre instruments permet de valider partiellement l’algorithme de reconstruction.
Comme le lidar ne fournit qu’une observation radiale, trois observations suivant trois directions diff´erentes sont n´ecessaires pour reconstruire le vent. Dans le chapitre 2 nous avons d´ej`a discut´e des hypoth`eses induites par le choix de ces trois obser-vations : l’atmosph`ere est suppos´ee homog`ene entre ces trois observations. De plus les observations sont consid´er´ees comme ´etant r´ealis´ees au mˆeme instant, nous sup-posons donc que l’´ecoulement turbulent est stationnaire durant les quatre secondes que dure la r´evolution compl`ete du lidar. Pour impl´ementer l’algorithme le volume observ´ est partag´e en boˆıtes, contenant chacune les trois observations n´ecessaires a` la reconstruction. Les boˆıtes sont construites de mani`ere a` couvrir enti`erement le volume d´ecrit par les tirs lidar. L’espace couvert par les boˆıtes est donc conique et s’´etend sur la verticale entre Hmin=50m et Hmax=110m. Les limites horizontales du domaine sont donn´ees par les droites formant l’angle αsup par rapport `a la verticale.
Les donn´ees utilis´ees ont et´ grˆacieusement fournies par LEOSPHERE. Les donn´ees comportent a` la fois des observations de vent du lidar WindCube V2 et des observations d’an´emom`etres `a coupelles. Pour les habitu´es du WindCube, les donn´ees lidar proviennent directement des fichiers WLS7-95 2010 08 2X 00 00 00.rtd et .rtdw o`u X varie de 0 a` 7. Les donn´ees an´emom´etriques sont des observations de vent horizontal moyenn´ees sur dix minutes, ainsi que les ´ecart-types du vent ob-serv´ (´egalement calcul´es par intervalle de dix minutes). Comme nous le verrons ult´erieurement, les observations an´emom´etriques sont principalement utilis´ees pour valider les estimations d’intensit´ turbulente.
Qualit´e des observations lidar
L’algorithme de reconstruction de l’atmosph`ere est bas´e sur l’observation du vent a` haute fr´equence. Pour que les quantit´es estim´ees aient un sens, il est primordial que l’observation soit de tr`es bonne qualit´e. Nous nous sommes donc assur´es de la qualit´e des observations du WindCube.
Un crit`ere classique pour ´evaluer la mesure lidar est la valeur du Carrier-to-Noise Ratio (CNR). Le CNR est d´efini par le rapport de la puissance moyenne du signal re¸cu sur la puissance du bruit. Sur la figure 4.2 nous avons repr´esent´ les CNR associ´es aux observations situ´ees a` 40m, 60m, 80m et 100m d’altitude. Pour ´evaluer la qualit´e des donn´ees, nous avons trac´e sur la figure 4.3 la courbe de fiabilit´e de l’observation en fonction du CNR d’apr`es les travaux de Dabas [32]. D’apr`es cette courbe, les donn´ees sont de bonne qualit´e si le CNR est sup´erieur a` -23dB. D’apr`es la figure 4.2 les CNR associ´es aux observations du WindCube sont sup´erieurs `a ce seuil pour la journ´ee du 26/08/2010. Pour les autres journ´ees, les CNR ´etaient ´egalement bons.
Les CNR particuli`erement elev´es indiquent aussi que les mesures ont et´ per-turb´ees. Comme tr`es peu de donn´ees semblent douteuses, nous consid´erons que les observations disponibles sont de bonne qualit´e. De plus nous verrons dans la partie r´esultats que l’algorithme est capable de filtrer une observation bruit´ee.

Vent horizontal `a partir des observations

Le vent horizontal joue un rˆole particulier dans nos exp´eriences. Contrairement au vent vertical, le vent horizontal n’est pas directement observ´. Pour obtenir une r´ef´erence et ´evaluer le vent reconstruit, il faut donc reconstruire le vent horizontal a` l’aide de consid´erations g´eom´etriques. Le vent horizontal intervient ´egalement dans le calcul de l’intensit´ turbulente, qui est l’un de param`etres turbulents etudi´es. En effet, le calcul de l’intensit´ turbulente utilise les observations de l’an´emom`etre a` coupelles, seul le module du vent horizontal est donc pris en compte.
Dans les fichiers de donn´ees fournis par LEOSPHERE, le vent observ´ par le tir vertical est orient´ positivement dans le sens de la gravit´e. Le vent vertical, au sens m´et´eorologique, est donc l’oppos´e du vent vertical observ´. L’expression du vent projet´ sur l’axe du LIDAR est donc : V entradial = Uh ∗ sin(α) − W ∗ cos(α)
avec Uh le vent horizontal et W le vent vertical au sens m´et´eorologique. Nous avons fait le choix classique d’orienter positivement les composantes du vent horizontal dans les directions Est et Nord.
Pour obtenir le vent horizontal `a partir des observations radiales, nous consid`erons le vent homog`ene sur le domaine. Nous reconstruisons tout d’abord un vent hori-zontal par tir oblique, `a chaque instant k (soit toutes les 4 secondes) et pour chaque niveau l : W = −lidarvertical(k, l)sin(α) Uh(k, l)) = V entradial(k, l) + W (k, l)cos(α)

Table des matières

Remerciements
Table des mati`eres
Introduction
1 Les enjeux
2 Reconstruction de l’atmosph`ere
3 M´ethodes de descente d’´echelle
4 M´ethodes de remont´ee d’´echelle
5 Guide de lecture du manuscrit
6 Production scientifique
I Reconstruction 3D de l’atmosph`ere turbulente 
1 Observation et acquisition d’un champ de vent 
1 La d´elicate nature de l’observation
2 Notations et d´efinitions
2.1 Processus d’acquisition
2.2 Processus d’acquisition le long d’un chemin
2.3 Acquisition d’un milieu le long d’un chemin en temps discret
3 Filtrage d’observations de vent
2 Reconstruction de l’atmosph`ere 
1 La technologie Lidar
1.1 La mesure Lidar
1.2 La g´eom´etrie du WindCube
1.3 Les donn´ees
2 Filtrage non-lin´eaire
2.1 Petit historique
2.2 Filtre `a particules
3 A propos des moyennes
4 Mesure de la turbulence
5 Algorithme de filtrage pour l’estimation de la turbulence
5.1 Mise `a jour des particules
5.2 Le mod`ele lagrangien stochastique
5.3 Le calcul des fonctions de structure
6 De l’algorithme math´ematique `a la programmation
6.1 Le conditionnement au domaine
6.2 Le r´e-´echantillonnage
3 Les exp´eriences num´eriques 
1 Cas d’un lidar plan
1.1 Configuration de l’exp´erience
1.2 Les donn´ees utilis´ees
1.3 R´esultats
2 Cas d’un lidar 3D
2.1 Configuration de l’exp´erience
2.2 Les donn´ees utilis´ees
2.3 R´esultats
3 Conclusion des exp´eriences num´eriques ”jouet”
4 Configuration r´eelle : lidar Windcube 
1 Configuration de l’exp´erience
1.1 Dispositif d’observation
1.2 Les donn´ees
1.3 Vent horizontal `a partir des observations
2 Un param`etre pour l’´eolien : l’intensit´e turbulente
3 Restitution du vent et des param`etres turbulents
3.1 Exp´erience pr´eliminaire
3.2 Reconstruction du vent
3.3 Les param`etres turbulents : TKE et EDR
3.4 Intensit´e turbulente
4 Discussion et conclusions
5 Application de la reconstruction
II Couplage avec un mod`ele en points de grille 
6 Mod´elisation de la turbulence 
1 Les simulations num´eriques directes
2 Les simulations avec param´etrisations
3 Les simulations avec particules
3.1 Les simulations Euler-Lagrange
3.2 Les m´ethodes PIC et FLIP
7 Descente d’´echelle 
1 Introduction
2 Cadre de travail
2.1 La campagne BLLAST
2.2 L’exp´erience r´ealis´ee
3 Les mod`eles
3.1 Le mod`ele en point de grille : Meso-NH
3.2 Les simulations Meso-NH
3.3 Le syst`eme de particules
3.4 Le mod`ele lagrangien stochastique
3.5 L’op´erateur de moyenne locale
4 Forcer un syst`eme de particules
4.1 La m´ethode de for¸cage
4.2 Gestion du syst`eme de particules
4.3 L’algorithme s´equentiel
5 L’´energie cin´etique turbulente
5.1 La TKE dans Meso-NH
5.2 La TKE mod´elis´ee par le syst`eme de particules
6 R´esultats
6.1 Le vent 3D
6.2 Densit´es spectrales de puissance
6.3 Anomalies de vent
6.4 Energie cin´etique turbulente
7 Discussion et conclusions
8 Advection d’information dans un syst`eme de particules 
1 Rappel des exp´eriences pr´ec´edentes
1.1 Reconstruction de l’atmosph`ere
1.2 Descente d’´echelle
2 Syst`eme de particules libres versus syst`eme de particules par maille
2.1 Pr´esentation de l’exp´erience
2.2 R´esultats
3 Perspectives
9 Remont´ee d’´echelle 
1 Le principe du nudging
2 Le nudging direct et r´etrograde
2.1 Formulation de l’algorithme
3 Le nudging BFN avec apprentissage de param`etre
3.1 π–BFN avec apprentissage de param`etre
3.2 Algorithme π–BFN pour un syst`eme lin´eaire d’´equations diff´erentielles ordinaires
4 R´esultats de convergence pour l’algorithme π–BFN
4.1 Convergence pour une ´etape avec forte relaxation
4.2 Convergence de l’algorithme π–BFN
5 Application
5.1 Assimilation sur un sous domaine
5.2 Algorithme π–BFN : observation de la vitesse
6 R´esultats
6.1 Influence de la r´epartition des observations avec une condition initiale nulle
6.2 Influence de la r´epartition des observations avec une condition initiale exacte
6.3 Apprentissage de la vitesse d’advection : cas constant
6.4 Apprentissage de la vitesse d’advection : cas constant en espace, variable en temps
7 Discussion et conclusions
Conclusion 
Bibliographie 

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