Accélération de la simulation Monte Carlo du transport des neutrons

La simulation neutronique en évolution

               L’étude de la physique des cœurs de réacteurs en fonctionnement normal et accidentel cherche à caractériser en tout point de l’espace des phases et en fonction du temps des grandeurs physiques d’intérêt d’un point de vue neutronique, telle que le facteur de multiplication des neutrons, la distribution spatiale de puissance, ou encore l’inventaire des concentrations isotopiques du combustible. La connaissance des grandeurs physiques est essentielle pour les études de sûreté et de criticité des réacteurs nucléaires. Dans ce contexte, depuis plusieurs décennies, différents codes de calcul ont été développés (notamment au CEA) afin de reconstruire numériquement l’évolution des grandeurs d’intérêt. Les grandeurs physiques fondamentales de la neutronique sont le flux des neutrons et les concentrations isotopiques du milieu combustible dans lequel ils se propagent. Celles-ci sont régies par deux équations couplées entre-elles, respectivement l’équation de Boltzmann qui modélise le transport (ou propagation) des neutrons dans la matière, et les équations généralisées de Bateman (ou équation d’évolution) qui gouvernent l’évolution temporelle des concentrations des nucléides du milieu de propagation. Le couplage Boltzmann-Bateman résulte du fait que les neutrons se propageant dans un milieu induisent des réactions nucléaires dans celui-ci. Cette transmutation modifie donc continûment la composition du milieu traversé par les neutrons, phénomène qui rétroagit sur la propagation de ces derniers dans ce même milieu. Le nouveau comportement des neutrons va à son tour se répercuter sur la cinétique de l’évolution isotopique du milieu de propagation. Et ainsi de suite. Dans un coeur de réacteur, ce couplage entre transport et évolution est particulièrement important. Il existe plusieurs approches numériques pour résoudre l’équation du transport : déterministe et stochastique (aussi appelée probabiliste ou Monte Carlo). L’intérêt de la première, qui opère par discrétisation de l’espace des phases, est sa rapidité d’exécution mais au prix d’approximations portant par exemple sur la représentation, en fonction de l’énergie, des sections efficaces qui décrivent l’interaction entre les neutrons et les noyaux-cibles : c’est l’approximation dite multigroupe. La seconde consiste à simuler, au plus près de la réalité, l’histoire des neutrons. Elle est donc par nature quasi-exacte mais présente l’inconvénient de nécessiter des temps de calcul importants. Les équations d’évolution, elles, se prêtent très bien à un traitement déterministe et il n’y a pas d’intérêt pour les problèmes traités ici de recourir, pour les résoudre, à une méthode probabiliste. L’amélioration récente des outils informatiques autorise à présent d’investiguer la voie des méthodes stochastiques. Restreintes jusqu’alors aux études stationnaires, la puissance de calcul des ordinateurs aujourd’hui disponible permet de mettre en oeuvre la méthode Monte Carlo pour calculer un coeur de réacteur de puissance à trois dimensions, sans approximation, en couplant un solveur de transport Monte Carlo à un solveur déterministe d’évolution des concentrations isotopiques. Ce type de couplage a déjà été réalisé par différentes équipes dans le monde, par exemple 1: MOCUP (MCNP et ORIGEN2), MCB (MCNP et CINDER), MCWO (MCNP et ORIGEN2), MONTEBURN (MCNP et ORIGEN2), MURE (MCNP(X) et un module d’évolution propre), MCODE (MCNP et ORIGEN2), ALEPH (MCNP(X) et ORIGEN2), MCNP-ACAB (MCNP et ACAB), MCNPX (MCNPX et CINDER90), MCOR (MCNP et ORIGEN-S, puis KORIGEN) et VESTA (MCNP, MORET, … et ORIGEN2, PHOENIX, …). La mise en pratique des couplages opérationnels présente deux diffcultés : l’une concerne les temps de calcul lorsque l’on recherche par exemple la distribution fine de la puissance d’un coeur (idéalement à l’échelle de la pastille de combustible) et la seconde la maîtrise des incertitudes statistiques associées aux grandeurs physiques calculées, maîtrise rendue d’autant plus difficile que l’on couple deux solveurs, l’un d’eux étant probabiliste. L’originalité du travail de thèse présenté dans ce mémoire réside dans les solutions apportées sur ces aspects précis. On perçoit donc que la finalité de notre travail est de contribuer à la mise au point d’un schéma de calcul de coeur de réacteur à trois dimensions exempt d’approximation et aux incertitudes parfaitement maîtrisées. En couplant efficacement un code de transport Monte Carlo des neutrons à un code déterministe d’évolution des concentrations isotopiques on offre la possibilité de traiter des configurations complexes à effets physiques 3D significatifs difficilement modélisables par les codes déterministes (exemple des réacteurs à eau bouillante). L’approche que nous avons adoptée laisse aussi entrevoir son application à des situations de transitoires de puissance (normaux et accidentels) et par suite à un couplage avec les équations de la thermohydraulique coeur. Nous adapterons dans la suite le vocable Monte Carlo évoluant pour nommer le couplage entre un code de transport Monte Carlo et un solveur d’évolution temporelle déterministe. Le principe de notre schéma consiste à ne réaliser qu’une seule simulation Monte Carlo de transport et à considérer que les évolutions des concentrations isotopiques représentent des perturbations relativement à cette simulation initiale. Or, les calculs perturbatifs sont plus rapides que les calculs de transport purs. Par conséquent, en enregistrant toutes les histoires d’une simulation initiale, il est possible d’éviter de refaire les transports Monte Carlo successifs coûteux en temps, au profit d’un traitement statistique par échantillonnage corrélé (qui est une méthode de perturbation statistique n’introduisant pas de biais dans les résultats) des histoires de la simulation initiale. Et pour investiguer cette idée originale, le travail de thèse s’est déroulé en trois étapes. Dans un premier temps, un travail de bibliographie m’a permis de me familiariser aux techniques de réduction de variance et à la théorie des perturbations et de l’échantillonnage corrélé. Ce travail, ajouté à l’étude du couplage des codes Monte Carlo évoluant, a débouché sur la mise en forme précise du formalisme à implémenter et est décrit dans la partie II de ce document. Plus particulièrement, je me suis intéressé au fonctionnement du code TRIPOLI-4 évoluant, qui est le code Monte Carlo évoluant développé au sein de mon laboratoire d’accueil 2 et dans lequel j’ai implémenté la méthode de perturbation. Ce code couple TRIPOLI-4 pour traiter le transport des neutrons et MENDEL pour traiter la transmutation isotopique. Ces deux codes sont également développés au CEA et des calculs utilisant l’ensemble TRIPOLI-4 évoluant ont d’ores et déjà été réalisés sur des configurations neutroniques REP (réacteurs à neutrons thermiques) et RNR (réacteurs à neutrons rapides) à des fins de validation et de qualification. Comme la méthode proposée dans cette thèse pose des questions de modélisation, une étude théorique visant à déterminer précisément les contraintes et les limites d’application de cette méthode a été réalisée et est présentée en partie III. Celle-ci a permis de montrer que si les résultats issus d’un calcul perturbé ne sont pas dégradés en moyenne, il n’en va pas de même de leur variance. Celle-ci peut être fortement altérée lorsque l’amplitude des perturbations est trop importante, ce qui limite donc l’utilisation de l’échantillonnage corrélé. Toutefois, on montrera dans cette même partie que cette dégradation des résultats perturbés ne représente pas un frein à l’utilisation des échantillons corrélés en évolution, puisque l’amplitude maximale des perturbations acceptables reste applicable aux études visées. De plus, on verra que la connaissance précise des limitations de l’échantillonnage corrélé permettra par la suite d’améliorer le schéma de perturbation mis en place dans TRIPOLI-4 évoluant. Enfin, la dernière étape a consisté à implémenter concrètement l’algorithme de perturbation dans le code de calcul TRIPOLI-4 évoluant. Ce développement logiciel spécifique s’appuie sur ROOT, le framework C++ produit par le CERN, et a abouti à la création de plusieurs librairies. Ces dernières regroupent l’ensemble des fonctionnalités nécessaires à la mise en oeuvre de la nouvelle fonctionnalité dans les scripts de couplage de TRIPOLI-4 évoluant. Afin de valider la méthode, on a considéré un cas test simple, une cellule de type REP, sur lequel ont été réalisés plusieurs tests permettant d’optimiser la méthode d’évolution par utilisation des perturbations (cf. partie IV, chapitre 8). Cette phase d’optimisation a été réalisée dans le cadre formel de la propagation des incertitudes grâce à la réalisation d’un grand nombre de simulations indépendantes. Cela a alors permis de construire un schéma de réduction de variance (mis en oeuvre au chapitre 8), qui a été utilisé dans une étude plus complète, celle d’un assemblage de type REP également, en début de cycle. On montrera que la méthode s’est montrée très efficace et a permis d’accélérer de manière remarquable le code d’évolution.

Présentation du code

              Développé au sein du LTSD 11, TRIPOLI-4 est un code Monte Carlo de transport de particules [Peti2009, Diop2007, Dumo2007, Brun2009]. Il est utilisé pour la simulation du transport des neutrons, des photons, des électrons et des positrons, dans des géométries à 3 dimensions avec un traitement continu de l’énergie. Développé depuis les années 60-70, la famille de codes TRIPOLI est exploitée dans de nombreux domaines du nucléaire et couvre à la fois les applications de radioprotection et de criticité. Ce code est développé dans les langages C , C++ et fortran et se manipule à travers des scripts écrits dans un langage interne. Au sein de ces scripts, la quasi-totalité du jeu de données est définie (géométrie, compositions, sources, techniques de réduction de variance, nombre de particules, …), le reste étant transmis par des options en ligne de commande. L’ensemble de ses fonctionnalités reposent sur 6 librairies.
La librairie de géométrie : La librairie de géométrie, écrite en C, permet à l’utilisateur de définir le système dans lequel la simulation aura lieu. Cette géométrie peut être définie soit par une combinaison de volumes (on parle alors de géométrie combinatoire), soit par des intersections de surfaces (on parle alors de géométrie surfacique). Plusieurs opérateurs (union, intersection, …) sont alors disponibles afin de représenter les géométries complexes et/ou sous forme de réseaux dans les scripts de lancement TRIPOLI-4. Les volumes ainsi obtenus sont considérés comme homogènes et isothermes. Mais depuis 2005, TRIPOLI-4 peut être connecté à la librairie de géométrie du framework ROOT 12[Antc2009, Brun1997], ce qui rend possible l’externalisation de la définition de la géométrie. Celle-ci peut alors être écrite en C++ et exportée dans un chier au format ROOT que TRIPOLI-4 utilisera durant la simulation.
La librairie de représentation des sections efficaces : Une des plus importantes partie de TRIPOLI-4 concerne la lecture des sections efficaces. Cette partie provient de routines fortran NJOY et permet d’exploiter trois types de représentation des sections efficaces : les sections ponctuelles (produites par NJOY), les sections multigroupes auto-protégées et homogénéisées (produites par APOLLO2 ou par TRIPOLI-4 lui-même) et les sections multigroupes avec tables de probabilité. Lors du traitement de ces données durant les simulations, TRIPOLI-4 tient compte de l’énergie incidente, de l’anisotropie et des transferts d’énergie.
Les librairies de gestion de la mémoire et du parallélisme : Afin d’exploiter au mieux les ressources matérielles disponibles, trois librairies ont été développées en C++. Elles permettent d’optimiser l’utilisation de la mémoire, d’implémenter le parallélisme de la simulation des particules et de gérer les communications entre les différents processus.
La librairie de simulation : Cette dernière partie du code, écrite en C++, est centrale car elle manipule toutes les autres pour réaliser la simulation. Elle est pilotée par un fichier d’entrée contenant des directives définissant les caractéristiques de la simulation à réaliser. Ainsi, l’utilisateur indique dans ce chier le système dans lequel la simulation aura lieu, mais il peut aussi y préciser les distributions de particules sources de son choix, la ou les techniques de réduction de variance à employer et les scores qu’il veut obtenir [Brun2009]. Et concernant cette dernière partie, les grandeurs physiques qui peuvent être estimées par TRIPOLI-4 sont nombreuses (flux de particules, facteur de multiplication effectif, courant surfacique, taux de réactions, dépôt d’énergie, énergie de recul, …). Pour plus d’informations sur le code, le lecteur se reportera aux références [Diop2007, Dumo2007, Brun2009].

Hypothèses sur la dépendance en temps des taux de réaction

               En réalité, dans les équations de Bateman (Eq. 3.2), les taux de réaction (et le flux neutronique) sont aussi dépendants du temps. Le calcul de l’évolution des concentrations isotopiques nécessite donc de connaître l’évolution temporelle des taux de réaction. Or, dans notre cas, ces grandeurs sont fournies par le code de transport Monte Carlo qui les estime à partir, entre autres, des concentrations isotopiques. La résolution des équations de Bateman nécessite donc une modélisation de l’évolution temporelle des taux de réaction indépendante de l’évolution des concentrations isotopiques. Pour cela, l’utilisateur doit fournir à MENDEL un découpage temporel prédéfini sur lequel il devra fournir, au début de chaque pas, la valeur des taux de réaction 2. Ensuite, pour chaque pas de temps, MENDEL effectue une extrapolation de ces taux de réaction sur la durée du pas par une fonction polynomiale d’ordre n, ce qui lui permet de calculer l’évolution des concentrations sur ce pas. Les nouvelles concentrations sont alors disponibles pour le calcul des taux de réaction au début du pas de temps suivant.

Schémas temporels définis dans les scripts d’évolution

                  Comme les équations de Bateman sont d’ordre 1 en temps, on utilise une approximation discrète de la dérivée temporelle. Pour cela, des schémas temporels, un d’ordre 1 et deux d’ordre 2 , sont implémentés dans TRIPOLI-4 évoluant. Les flux et les taux de réaction y sont considérés constants, mais ils sont recalculés, dans les schémas d’ordre 2, après une première évolution. Cela permet de vérifier si la discrétisation utilisée est suffisamment ne. Bien entendu, l’utilisateur est libre d’utiliser le schéma qu’il souhaite, et comme les scripts implémentant ces méthodes sont modifiables, il peut aussi définir et exploiter son propre schéma. La méthode d’Euler explicite est le premier schéma temporel disponible dans TRIPOLI-4 évoluant. Il est utilisable à travers un script de lancement ROOT et est aujourd’hui le schéma le plus fréquemment utilisé. Ce schéma d’ordre 1 calcule à chaque pas en temps les flux et/ou les taux de réactions avec TRIPOLI-4 puis transmet ces résultats à MENDEL qui effectue un calcul d’évolution pour obtenir la liste des concentrations isotopiques à la n du pas de temps. Cette méthode peut être résumée par l’algorithme 3.1. Concernant les schémas d’ordre 2, deux méthodes sont disponibles par défaut dans TRIPOLI-4 évoluant. Le premier, dit du point milieu, est basé sur l’hypothèse que les flux et taux de réactions au milieu du pas de temps sont plus représentatifs que ceux calculés au début du pas par la méthode d’Euler explicite. Cette méthode découpe alors chaque pas de temps en 2 et effectue une première évolution jusqu’au milieu du pas. Un nouveau calcul de transport est alors effectué à partir des concentrations du milieu de l’intervalle temporel, puis les flux et taux de réactions sont transmis au solveur d’évolution qui finalise le calcul en utilisant les concentrations isotopiques en début du pas. L’algorithme de ce schéma (Alg. 3.2) est présenté en page 42. Le second schéma, dit de la moyenne, réalise la moyenne entre une évolution basée sur les flux et taux du début du pas en temps et une évolution calculée à partir des flux et taux de la fin du pas en temps. La première évolution est identique à celle effectuée par la méthode d’Euler explicite et la seconde se base sur les résultats du premier calcul pour estimer les flux et taux de réactions à la fin du pas de temps. Cette méthode peut s’écrire selon l’algorithme 3.3, présenté en page 42.Ces deux schémas d’ordre 2 sont plus précis que la méthode d’Euler explicite ce qui leur permet d’utiliser une discrétisation temporelle moins fine. Il nécessite en contre partie deux calculs de transport à chaque pas de temps. Ils sont alors souvent utilisés pour vérifier que la discrétisation en temps du schéma d’Euler explicite soit suffisamment fine.

Sélection de la méthode perturbative

                Il reste à présent à définir la technique perturbative à utiliser. Pour ne pas introduire d’approximations supplémentaires dans les calculs perturbés, on a choisi d’implémenter la méthode des échantillons corrélés au sein de ce schéma innovant. Cette méthode a l’avantage de fournir un résultat correct (au sens où les résultats sont non biaisés, c’est-à-dire toujours vrais en moyenne), mais en contrepartie elle possède une contrainte sur son utilisation. Il faut que tous les évènements observables dans la situation perturbée aient lieu lors de la simulation initiale (voir Chap. 2). Cela signifie qu’au cours d’une évolution, on ne peut pas modifier la géométrie du système entre deux pas en temps perturbés, ni introduire de nouveaux isotopes. Si dans beaucoup d’études la première condition est vérifiée (la géométrie n’est pas modifiée), c’est la seconde condition qui peut s’avérer problématique. En effet, durant la première phase de l’évolution des produits de fissions et de désintégration apparaissent. Ainsi, l’enregistrement des traces de la simulation au premier pas de temps ne permet pas de calculer par échantillonnage corrélé les grandeurs d’intérêt aux pas de temps suivants (car des biais apparaîtraient dans le calcul). La principale restriction de cette méthode est donc l’impossibilité de démarrer les perturbations tant que, d’un pas perturbé à un autre, des éléments sont produits. Par conséquent, on est amené à modifier l’algorithme du schéma perturbé pour tenir compte de ces contraintes. L’utilisateur de ce schéma doit alors indiquer, en plus du découpage temporel, à quel moment le schéma perturbé doit démarrer, c’est-à-dire à quel moment l’ensemble des isotopes de la chaîne d’évolution est apparu dans l’ensemble des milieux évoluant. De plus, comme nous le verrons dans les chapitres dévolus aux études (Part. IV), l’introduction de l’échantillonnage corrélé induit une augmentation de la variance des résultats au fur et à mesure de l’évolution. Cela est dû à la non-représentativité des traces enregistrées lorsque les perturbations sont trop fortes. On introduit alors dans le schéma perturbé la possibilité de regénérer des traces à intervalles réguliers pour limiter la dégradation de la variance. Au final, on exécute un schéma temporel perturbé en indiquant deux paramètres supplémentaires (que l’on cherchera à optimiser dans la partie IV) 1. Ti le temps (ou le taux d’irradiation) à partir duquel les phases de transport seront remplacées par la perturbation d’un jeu de traces 2. ∆Tp l’intervalle de temps (ou de taux d’irradiation) durant lequel un jeu de traces peut être utilisé La donnée de ces deux paramètres permet d’implémenter un algorithme générique introduisant la méthode des échantillons corrélés au sein d’un schéma temporel quelconque. Dans cet algorithme, schématisé par l’Alg. 4.2, le calcul est initialisé en utilisant un schéma non-perturbé jusqu’au temps Ti . A l’issue de cette première phase, tous les isotopes de la chaîne d’évolution sont apparus dans les différents milieux évoluant. Un transport TRIPOLI-4 génère alors un jeu de traces qui sera perturbé pendant l’intervalle de temps ∆Tp pour remplacer les différents transports Monte Carlo de cet intervalle. A la n de ce dernier, c’est-à-dire au temps Ti + ∆Tp, un nouveau jeu de traces est produit par TRIPOLI-4 et sera perturbé pendant le même intervalle de temps ∆Tp. On recommence ainsi jusqu’à la fin de l’évolution 4. Les gains obtenus par ce schéma perturbé dépendent des paramètres d’entrée définis par l’utilisateur (Ti et ∆Tp). Plusieurs études seront présentées dans la partie IV afin d’optimiser la valeur de ces paramètres pour obtenir un gain maximum.
Remarque : De même que pour l’intervalle de temps δt séparant deux pas du maillage temporelle, l’intervalle ∆Tp n’est pas nécessairement constant durant l’évolution. L’utilisateur est libre de le faire évoluer entre deux phases d’utilisation des perturbations, mais cela n’est pas indiqué sur l’Alg. 4.2 par soucis de lisibilité.

Table des matières

I Introduction 
II Simulation Monte Carlo Perturbée en Évolution 
1 Simulation du transport des neutrons par la méthode Monte Carlo 
1.1 Principe de la méthode Monte Carlo
1.1.1 Historique et principe général
1.1.2 Forme intégro-diérentielle de l’équation du transport
1.1.3 Simulation du transport des particules par la méthode Monte Carlo
1.2 Résolution de l’équation du transport
1.2.1 Résolution par simulation naturelle
1.2.2 Résolution par simulation non-analogue
1.2.3 Ecacité d’une technique de réduction de variance
1.3 Le code de transport TRIPOLI-4
1.3.1 Présentation du code
1.3.2 Les différents modes de simulation
1.3.3 Estimation du flux, des taux de réactions et du facteur de multiplication effectif
1.3.4 Les méthodes de réduction de variance
Références
2 Les méthodes perturbatives des simulations Monte Carlo 
2.1 Développement en séries de Taylor
2.2 La méthode des échantillons corrélés
2.2.1 Perturbation du noyau de transition
2.2.2 Application à la perturbation des concentrations isotopiques
2.2.3 Exemple
2.2.4 Intérêts et inconvénients de la méthode
Références
3 Les codes de calcul Monte Carlo évoluant 
3.1 Couplage des simulations Monte Carlo et des calculs d’évolution
3.2 Présentation de TRIPOLI-4 évoluant
3.2.1 Le solveur d’évolution MENDEL
3.2.2 Hypothèses physiques et modélisation de TRIPOLI-4 évoluant
3.2.3 Schémas temporels définis dans les scripts d’évolution
3.3 Estimation des erreurs systématiques et statistiques
3.3.1 Identification et correction des erreurs systématiques
3.3.2 Propagation des erreurs statistiques
Références
4 Accélération des calculs en évolution avec l’échantillonnage corrélé 
4.1 Présentation de l’algorithme
4.2 Couplage avec la plateforme d’évolution de TRIPOLI-4
4.2.1 Introduction d’une méthode perturbative dans les schémas d’évolution
4.2.2 Sélection de la méthode perturbative
4.3 Développement d’une librairie de post-traitement : TRIPOLI-4 ROOT-Tools
4.3.1 Présentation du projet
4.3.2 Architecture du projet
Références
III Étude Théorique de la Méthode 
5 Présentation du modèle théorique 
5.1 Enjeux
5.2 Description du système et hypothèses de calcul
5.3 Réponse, estimateur et résolution théorique
5.4 Notations
6 Modèle à 1 isotope 
6.1 Positionnement du problème
6.2 Calcul théorique du score moyen et de sa variance
6.2.1 Résolution du problème initial
6.2.2 Résolution du problème perturbé
6.2.3 Domaine de validité
6.3 Simulations et validation
6.3.1 Résultats de simulations et validation
6.3.2 Analyse du domaine de validité D1
6.4 Bilan du modèle à 1 isotope
Références
7 Modèle à N isotopes 
7.1 Calcul du score moyen et de sa variance
7.1.1 Résolution du problème initial
7.1.2 Résolution du problème perturbé
7.1.3 Domaine de validité
7.2 Simulations et validation
7.2.1 Cas particulier : N = 2
7.2.2 Résultats de simulations pour le cas N = 2
7.3 Extension au traitement ponctuel de l’énergie et au transport en milieux hétérogènes
7.4 Bilan du modèle théorique
C. Dieudonné CEA Saclay
IV Étude Pratique de la Méthode 
8 Optimisations informatiques et physiques du schéma de perturbation 
8.1 Procédures de validation et de mesure des performances
8.1.1 Liste des grandeurs à analyser
8.1.2 Procédure de validation
8.1.3 La figure de mérite, un critère unique de qualfication
8.1.4 Matériel utilisé pour la mise en oeuvre
8.2 Description du premier cas test : la cellule de combustible UOX
8.3 Résultats de l’évolution avec la méthode classique
8.3.1 Évolution de quelques concentrations isotopiques
8.3.2 Facteur de multiplication effectif
8.3.3 Temps de calcul
8.4 Résultats des calculs perturbés
8.4.1 Rappel de l’algorithme et définition des paramètres du schéma de calcul perturbé
8.4.2 Évolution des concentrations isotopiques
8.4.3 Impact sur le temps de calcul
8.4.4 Démarrage retardé des perturbations
8.5 Méthodes d’accélération de la construction des sections efficaces
8.5.1 Profilage du code et optimisation du temps de calcul
8.5.2 Unification des compositions
8.5.3 Généralisation de la méthode d’accélération à l’exploitation de la persistance des données
8.6 Vers des schémas de réduction de variance
8.6.1 Procédure d’optimisation des concentrations isotopiques du jeu de traces
8.6.2 Validation des résultats
8.6.3 Dégradation de la variance
8.6.4 Mesure des performances
8.7 Impact du découpage temporel sur la figure de mérite
Références
9 Application à l’étude d’un assemblage en début de cycle 
9.1 L’assemblage de combustibles UOX
9.1.1 Description du cas test
9.1.2 Définition des paramètres temporels
9.2 Résultats de l’évolution avec la méthode classique
9.2.1 Évolution de quelques concentrations isotopiques
9.2.2 Le spectre énergétique
9.2.3 Facteur de multiplication effectif
9.2.4 Temps de calcul
9.3 Validation et mesure des performances
9.3.1 Validation des résultats
9.3.2 Efficacité de la technique de réduction de variance
9.3.3 Mesure des performances
Références
V Bilan et Perspectives 
Bilan du travail de thèse
Perspectives de développement
VI Références et Annexes

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